応用数学 - 1階常微分方程式のソースを表示

== 概要 ==
1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。<br>
これらは方程式の形により分類される。<br>
* 変数分離形微分方程式
* 同次形微分方程式
* 1階線形微分方程式
* ベルヌーイ形微分方程式
* 完全微分方程式
<br><br>

== <math>\frac{dy}{dx}</math>の扱い ==
以下の命題は、<math>\frac{dy}{dx}</math> は、形式的に分数のように扱うことができることを示している。<br>
<br>
 命題1.
 <math>\int{ \left ( g(y) \frac{dy}{dx} \right ) dx} = \int{g(y)dy}</math>
 
 証明.
 <math>y = \phi(x)</math> とおいて、両辺をxで微分すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d \phi}{dx}</math>
 置換積分の公式より、<math>\int{g(y)dy} = \int{g(\phi(x)) \frac{d \phi}{dx} dx}</math>
 <math>y = \phi(x)</math> より、
 <math>\int{g(\phi(x)) \frac{d \phi}{dx} dx} = \int{ \left (g(y) \frac{dy}{dx} \right ) dx}</math>
<br>
 命題2.
 <math>g(y)dy = f(x)dx \Rightarrow \int{g(y) dy} = \int{f(x) dx}</math>
 
 証明.
 <math>g(y) dy = f(x) dx</math> の両辺をdxで除算して、本来の記号 <math>\frac{dy}{dx}</math> に戻すと次式となる。
 <math>g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)</math>
 
 両辺をxで積分すると次式となる。
 <math>\int{g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} = \int{f(x) dx}</math>
 
 左辺に対して命題1を適用すると次式となる。
 <math>\int{g(y) dy} = \int{f(x) dx}</math>
<br>
 命題3.
 <math>f(x) dx + g(y)dy = 0 \Rightarrow \int{f(x) dx} + \int{g(y) dy} = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
 
 証明.
 <math>f(x) dx + g(y) dy = 0</math> の両辺をdxで除算して、本来の記号<math>\frac{dy}{dx}</math> に戻すと次式となる。
 <math>f(x) + g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) = 0</math>
 
 この両辺をxで積分すると次式となる。
 <math>
 \begin{align}
 \int{f(x) + g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} &= 0 \\
 \int{f(x) dx} + \int{g(y) \left ( \frac{dy}{dx} \right ) dx} &= C
 \end{align}
 </math>
 
 左辺第2項に命題1を適用して整理する。
 <math>\int{f(x) dx} + \int{g(y) dy} = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
<br><br>

== 変数分離形微分方程式 ==
f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。<br>
<math>g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)</math><br>
<br>
変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。<br>
* <math>g(y)dy = f(x)dx</math>
* <math>f(x)dx - g(y)dy = 0</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = f(x)h(y) \quad \because h(y) = \frac{1}{g(y)}</math>
<br>
* 変数分離形の例
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2xy</math>
*: <math>\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1) \left (y + \frac{1}{y} \right )</math>
*: <br>
* 変数分離形ではない例
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2x + 3y</math>
*: <math>\frac{dy}{dx} = x - y</math>
<br>
 例題1. 
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} = x</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 dy &= x dx \\
 \int{dy} &= \int{x dx} \\
 y &= \frac{1}{2} x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
<br>
 例題2.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} = y</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 \frac{1}{y} dy &= dx \\
 \int{\frac{1}{y} dy} &= \int{dx} \\
 \ln{|y|} &= x + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\
 |y| &= e^{x + C} \\
 y &= \plusmn e^C e^x \\
 y &= C e^x \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
<br>
 例題3.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>y dy = x dx</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 \int{y dy} &= \int{x dx} \\
 \frac{1}{2} y^2 &= \frac{1}{2} x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\
 y^2 &= x^2 + 2C \\
 y^2 &= x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
<br>
 例題4.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>x dx - (1 + x^2) dy = 0</math>
 
 解答.
 <math>dy = \frac{x}{1 + x^2}</math> とおく。
 <math>
 \begin{align}
 \int{dy} &= \int{\frac{x}{1 + x^2} dx} \\
 y &= \frac{1}{2} \int{\frac{2x}{1 + x^2}} \\
 y &= \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\
 \end{align}
 </math>
<br><br>

== 同次形微分方程式 ==
<math>\frac{dy}{dx}</math> が <math>\frac{y}{x}</math> のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。<br>
<math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math><br>
<br>
同次形微分方程式は、変数変換することにより、変数分離形として記述できる。<br>
<br>
 変数分離形として記述できることの説明
 
 <math>u = \frac{y}{x}</math> とおけば、<math>y = ux</math> より、積の微分公式を使用して、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} x + u</math> となる。
 これを、<math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math> に代入すると、<math>u + \frac{du}{dx} x = f(u)</math> となる。
 したがって、<math>\frac{du}{dx} = \frac{f(u) - u}{x}</math>
 
 これは未知関数uの変数分離形である。
<br>
同次形微分方程式の例<br>
* <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = 2 \left ( \frac{y}{x} \right )^3 + \frac{y}{x}</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = \frac{(x + y)}{(x - y)} \quad \Rightarrow</math> 分母分子をxで除算すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}</math> と記述できるため、同次形微分方程式である。
<br>
 例題.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math>
 
 解答.
 <math>\frac{y}{x} = u</math> とおくと、<math>y = ux</math>
 積の微分公式より、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} x + u</math>
 
 これを微分方程式に代入すると、<math>u + \frac{du}{dx} x = u + 1</math> となり、各項を計算すると、<math>\frac{du}{dx} x = 1</math> となる。
 したがって、<math>\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}</math> であるため、変数分離形となる。
 
 この両辺をxで積分すると、
 <math>
 \begin{align}
 \int{\frac{du}{dx} dx} &= \int{\frac{1}{x}} dx \\
 \int{du} &= \int{\frac{1}{x} dx} \\
 u &= \ln|x| + C
 \end{align}
 </math>
 
 <math>u = \frac{y}{x}</math> であるので、これを上式に代入すると、次式となる。
 <math>\frac{y}{x} = \ln|x| + C</math>
 
 したがって、一般解は、
 <math>y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}</math>
<br><br>

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]