応用数学 - 1階常微分方程式のソースを表示

== 概要 ==
1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。<br>
これらは方程式の形により分類される。<br>
* 変数分離形微分方程式
* 同次形微分方程式
* 1階線形微分方程式
* ベルヌーイ形微分方程式
* 完全微分方程式
<br><br>

== 変数分離形微分方程式 ==
f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。<br>
<math>g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)</math><br>
<br>
変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。<br>
* <math>g(y)dy = f(x)dx</math>
* <math>f(x)dx - g(y)dy = 0</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = f(x)h(y) \quad \because h(y) = \frac{1}{g(y)}</math>
<br>
* 変数分離形の例
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2xy</math>
*: <math>\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1) \left (y + \frac{1}{y} \right )</math>
*: <br>
* 変数分離形ではない例
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2x + 3y</math>
*: <math>\frac{dy}{dx} = x - y</math>
<br>
 例題1. 
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} = x</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 dy &= x dx \\
 \int{dy} &= \int{x dx} \\
 y &= \frac{1}{2} x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
 
 例題2.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>\frac{dy}{dx} = y</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 \frac{1}{y} dy &= dx \\
 \int{\frac{1}{y} dy} &= \int{dx} \\
 \ln{|y|} &= x + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\
 |y| &= e^{x + C} \\
 y &= \plusmn e^C e^x \\
 y &= C e^x \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
 
 例題3.
 微分方程式の一般解を求めよ。
 <math>y dy = x dx</math>
 
 解答.
 <math>
 \begin{align}
 \int{y dy} &= \int{x dx} \\
 \frac{1}{2} y^2 &= \frac{1}{2} x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \\
 y^2 &= x^2 + 2C \\
 y^2 &= x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
 \end{align}
 </math>
<br><br>

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]