応用数学 - 常微分方程式の基礎のソースを表示

== 概要 ==

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== 一般解と特殊解 ==
n階常微分方程式の初期値問題において、n個の任意定数を含む解を、一般解という。<br>
一般解の任意定数に特別な値を代入して得られる解を、特殊解(特別解または特解)という。<br>
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1つの定数Cに対して、以下の初期値問題の解曲線を <math>y = y(x, C)</math> とする。<br>
<math>\frac{dy}{dx} = f(x, y) \qquad \mbox{( 1 階 常 微 分 方 程 式 )} </math><br>
<math>y(a) = C \qquad \mbox{( 初 期 条 件 : x = a の と き y = C )}</math><br>
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定数Cを動かした時、解曲線 <math>y = y(x, C)</math> は様々な関数を表す。<br>
このように、常微分方程式 <math>\frac{dy}{dx} = f(x, y)</math> の無数の解曲線を表す任意定数Cを含んだ解 <math>y = y(x, C)</math> が一般解である。<br>
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一般解は、微分方程式の解曲線の集まり、すなわち、解曲線群を表す。<br>
特殊解は、解曲線群の中の個々の解曲線を表す。<br>
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== 一般解と特殊解の例 ==
* 1階常微分方程式
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2x</math>
** 一般解
**: <math>y = x^2 + C \qquad \mbox{( C は 任 意 定 数 ) }</math>
** 特殊解
**: Cに0を代入した時の特殊解 : <math>y = x^2</math>
**: Cに1を代入した時の特殊解 : <math>y = x^2 + 1</math>
*: <br>
* 2階常微分方程式
*: <math>\frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + y = 0</math>
** 一般解
**: <math>y = (C_1 x + C_2 )e^x \qquad (C_1, C_2 : \mbox{任 意 定 数 })</math>
** 特殊解
**: <math>C_1 = 1, \, C_2 = 1</math> を代入した時の特殊解 : <math>y = (x + 1)e^x</math>
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== 特異解 ==
常微分方程式の一般解の任意定数において、どのような値を代入しても得られない解が存在する場合がある。<br>
このような解を、特異解という。<br>
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つまり、特異解は一般解に含めることができない解である。<br>
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== 特異解の例 ==
* 常微分方程式
*: <math>\left (\frac{dy}{dx} \right )^2 - \frac{dy}{dx} x + y = 0</math>
** 一般解
**: <math>y = Cx - C^2</math>  (直線群)
** 特異解
**: <math>y = \frac{x^2}{4}</math>  (放物線)
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== 解の存在と一意性 ==
特別な場合の初期値問題については、解の存在とその一意性が保障されている。<br>
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* 定理(解の存在と一意性)
*: 2変数関数f(x, y)が点(a, b)を含むxy平面上のある領域において、連続かつ有限の値をとるならば、
*: 初期値問題 <math>\frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(a) = b</math> は、少なくとも1つの解をもつ。
*: さらに、その領域で、f(x, y)がyに関して偏微分可能であり、<math>\frac{\partial f}{\partial y}</math> が連続ならば、ただ1つの解をもつ。
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== 基礎方程式 (支配方程式) ==
根本的な物理法則を数学的な方程式で表したものを、基礎方程式、または、支配方程式(governing equations)という。<br>
それらの方程式は、常微分方程式、または、偏微分方程式で表されることが多い。<br>
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基礎方程式の例<br>
* マクスウェル方程式(電磁気学)
* シュレーディンガー波動方程式(量子力学)
* ハイゼンベルグ運動方程式(量子力学)
* ナビエ-ストークス方程式(流体力学)
* アインシュタイン方程式(一般相対性理論)
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== 常微分方程式の例 ==
==== ニュートンの冷却法則 ====
ニュートンの冷却法則とは、物体の温度の低下(上昇)速度は、外気との温度差に比例する。<br>
<math>\frac{dx}{dt} = -k(T - T_s) \qquad</math> (変数分離系)<br>
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xは熱した物質の温度で、時間tを変数とする関数であり、x<sub>s</sub>は周囲の環境の温度で定数である。<br>
また、<math>k > 0</math> は冷却の強さを表す定数（熱伝達率）であり、熱容量、表面積、熱伝導率等に依存する。<br>
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この時、<math>\frac{dx}{dt} = -k(x - x_s)</math> の一般解は、<br>
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\begin{array}{lcl}
\frac{dx}{x - x_s} &=& -k \\
\int{\frac{1}{x - x_s}} dx &=& \int{-k dt} \\
ln(x - x_s) &=& -kt + C \\
x - x_s &=& e^{-kt + c} \\
x &=& e^{-kt} e^C + x_s \\
x &=& C e^{-kt} + x_s \quad \therefore e^C = C
\end{array}
</math><br>
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したがって、<math>x = C e^{kt} + x_s \qquad</math> (C : 任意の定数)となる。<br>
<math>t = 0</math> とする時、定数Cは <math>C = x - x_s</math> となる。<br>
この時、特殊解は、<math>x = (x - x_s) e^{kt} + x_s</math> となる。<br>
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初期値を <math>x(0) = x_0</math> とする時、<math>x(t) = (x_0 - x_s) e^{-kt} + x_s</math> と表すことができる。<br>
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 例題1.
 フライパンの温度x<sub>0</sub>を100[℃]、部屋の温度x<sub>s</sub>を20[℃]とする。
 フライパンを50分間放置した場合(x(t) = 50)、ニュートンの冷却法則における定数kを求めよ。
 
 解答.
 <math>x(t) = (x_0 - x_s) e^{-kt} + x_s</math> より、
 <math>50 = (100 - 20) e^{-30k} + 20</math>
 <math>k = - \frac{1}{30} ln{\frac{3}{8}}</math>
 したがって、<math>k \cong 0.03</math> となる。
 
 例題2.
 温度20[℃]の室内で温度60[℃]のコーヒーを5分間放置する場合、コーヒーは何[℃]になるか求めよ。
 この部屋では、<math>k = 0.032</math> とする。
 
 解答.
 <math>x(t) = (x_0 - x_s) e^{-kt} + x_s</math> より、
 <math>x = (60 - 20) e^{-5 \times 0.032} + 20</math>
 <math>x \cong 54.1</math>
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==== 人口増加の法則 ====
人口(一般に生物の個体数)の増加率は、その時点での人口に比例する。<br>
<math>\frac{dx}{dt} = kx \qquad</math> (時刻tにおける人口 : x(t))<br>


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==== ニュートンの運動方程式 ====
物体の加速度は、それに作用する力に比例し、その質量に反比例する。<br>
<math>F = m \frac{d^2 x}{dt^2} \qquad</math> (F : 力、 m : 質量、 <math>\frac{d^2 x}{dt^2}</math> : 加速度)<br>

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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]