ベクトル - 内積と外積のソースを表示

== 概要 ==
ベクトルの内積とは、ベクトル <math>\vec{v}</math> に対して垂直な光を当てる時、ベクトル <math>\vec{v}</math> 上にできるベクトル <math>\vec{w}</math> の射影の長さと、元のベクトル <math>\vec{v}</math> の長さとの積のことである。<br>
ベクトル <math>\vec{v}, \, \vec{w}</math> がある時、外積は <math>\vec{v} \cdot \vec{w}</math> と表すため、ドット積とも呼ばれる。<br>
<br>
ベクトルの外積とは、2本のベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直な方向に働く新しいベクトルのことである。<br>
ベクトル <math>\vec{v}, \, \vec{w}</math> がある時、外積は <math>\vec{v} \times \vec{w}</math> と表すため、クロス積とも呼ばれる。<br>
<br>
ベクトルの外積は、線形代数において幅広く使われる重要な概念であるため、線形代数の幾何学的なイメージを深めることができる。<br>
<br><br>

== ベクトルの外積の幾何学的な意味 ==
ベクトルの外積とは、2つのベクトルが作る平行四辺形に対して、垂直方向に伸びる新しいベクトルである。(ベクトルの外積の解はベクトル)<br>
ベクトルの外積で求められるベクトルの長さは、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積と等しくなる。<br>
<br>
なお、垂直方向とは、平行四辺形に対して、真上の方向と真下の方向という2つの場合があり、外積の方向は、右手の法則で判断することができる。<br>
<math>\vec{v}</math> を人差し指、<math>\vec{w}</math> を中指とする場合、外積 <math>\vec{v} \times \vec{w}</math> の方向は親指の方向となる。<br>
<br><br>

== ベクトルの外積の計算方法 ==
ベクトルの外積の計算方法を、次式に示す。<br>
<math>
\begin{align}
\vec{v} \times \vec{w} &= \left[ \begin{array}{cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{cc} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array} \right] \\
&= \left[ \begin{array}{cc} v_2 w_3 - w_2 v_3 \\ -v_1 w_3 + w_1 v_3 \\ v_1 w_2 - w_1 v_2 \end{array} \right]
\end{align}
</math><br>
<br>
これは、次式のように、基底ベクトル <math>\hat{i}, \, \hat{j}, \, \hat{k}</math> を1列目の要素に入れて、ベクトル <math>\vec{v}, \, \vec{w}</math> をそれぞれ2列目と3列目の要素にした3次の行列式を解くことと同様である。<br>
<math>
\begin{align}
\vec{v} \times \vec{w} &= \left[ \begin{array}{cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{cc} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array} \right] \\
&= \mbox{det} \left( \left[ \begin{array}{cc} \hat{i} & v_1 & w_1 \\ \hat{j} & v_2 & w_2 \\ \hat{k} & v_3 & w_3 \\ \end{array} \right] \right)
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== ベクトルの外積の長さ ==
ベクトルの外積の長さは、三平方の定理を用いて、次式のように求めることができる。<br>
<math>\sqrt{(v_2 w_3 - w_2 v_3)^2 + {-(v_1 w_3 + w_1 v_3)}^2 + (v_1 w_2 - w_1 v_2)^2}</math><br>
<br>
ベクトルの外積の長さと、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は等しいため、この方法により、平行四辺形の面積を求めることもできる。<br>
<br><br>

== ベクトルの外積の性質 ==
ある2つのベクトルの外積は、そのベクトルが作る平行四辺形の面積に等しい。<br>
<br>
* <math>\vec{v} \times \vec{w} = - \vec{w} \times \vec{v}</math>
*: ベクトルの外積において、2つのベクトルを交換する時、ベクトルが伸びる方向が反対になるという性質がある。<br>
*: <br>
* <math>s \vec{v} \times \vec{w} = s (\vec{v} \times \vec{w})</math>
*: ベクトルの外積 <math>\vec{v} \times \vec{w}</math> において、一方のベクトルがS倍になる時、その外積もS倍になる。
*: <math>S_1 \vec{v} \times \vec{w} = S_1 (\vec{v} \times\vec{w})</math> または、 <math>\vec{v} \times S_2 \vec{w} = S_2 (\vec{v} \times \vec{w})</math> である。
*: <br>
*: また、一方がS<sub>1</sub>倍になり、他方がS<sub>2</sub>倍になる時、外積はS<sub>1</sub> S<sub>2</sub>倍になる。つまり、 <math>S_1 \vec{v} \times S_2 \vec{w} = (S_1 S_2)(\vec{v} \times \vec{w})</math> である。
*: <br>
* 平行するベクトルの外積は0
*: 平行なベクトル同士の外積は、0になる。
*: これは、2つのベクトルが平行の場合、平行四辺形を作ることができず、その面積が0になるからである。
*: また、2つのベクトルが直交する場合、平行四辺形の面積が最大になるため、外積の長さも最大になる。
<br><br>

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]