ベクトル - ベクトル方程式のソースを表示

== 概要 ==
ベクトル方程式とは、<u>"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"</u>のことである。<br>
<br>
直線は、点の集合である。<br>
例えば，直線 <math>y = 2x + 1</math> は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。<br>
<br>
ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。<br>
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル <math>P(\vec{p})</math> の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。<br>
<br><br>

== 直線のベクトル方程式 ==
==== 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式 ====
 定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式
 
 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式
 <math>\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math>
<br>
[[ファイル:Vector Equation 1.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線をgとする。<br>
点 <math>P(\vec{p})</math> が直線g上にあるということは、<math>\overrightarrow{AP} = t \vec{d}</math> と表すことができる。<br>
<br>
<math>\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a}</math> より、<br>
<math>\vec{p} - \vec{a} = t \vec{d}</math><br>
<math>\therefore \vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math><br>
と表すことができる。<br>
<br>
この時、<math>\vec{d}</math> を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。<br>
<br>
また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。<br>
原点をO、点Aの座標を <math>A(x1, y1)</math>、直線g上の任意の点を <math>P(x, y)</math> として、<math>\vec{d} = (l, m)</math> とする時、<br>
ベクトル方程式は、次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
(x, y) &= (x_1, y_1) + t (l, m) \\ 
& = (x_1 + lt, y_1 + mt)
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>
\begin{cases} 
x = x_1 + lt \\ 
y = y_1 + mt 
\end{cases}
</math><br>
<br>
媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。<br>
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。<br>
 点 <math>(x_1, y_1)</math> を通り、<math>\vec{d} = (l, m)</math> が方向ベクトルである直線の方程式
 <math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>
<br>
==== 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件） ====
 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義
 
 異なる2点 <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b})</math> を通る直線のベクトル方程式は、次式となる。
 <math>\vec{p} = (1 - t) \vec{a} + t \vec{b}</math>
 または
 <math>\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}, \, s + t = 1</math>
<br>
平面上の異なる2点 <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b})</math> を通る直線上に，点 <math>P(\vec{p})</math> があることを考える。<br>
[[ファイル:Vector Equation 2.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
この時、<math>\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB}</math> と表されるので、次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
\vec{p} &= \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) \\ 
&= (1 - t) \vec{a} + t \vec{b} 
\end{align}
</math><br>
<br>
上式の方程式において、<math>1 - t = s</math> とおく時、次式としても表すことができる。<br>
<math>\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}</math><br>
<br>
例. <math>A(2, 1), \, B(3, 3)</math> の時、直線ABの式は <math>y = 2x - 3</math> である。<br>
[[ファイル:Vector Equation 3.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
P(x, y)として、ベクトルで考えると<br>
<math>
\begin{align} 
\vec{p} &= \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB} \\ 
(x, y)  &= \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) \\ 
&= (2, 1) + t (1, 2) \\ 
&= (t + 2, 2t + 1)
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、次式のように媒介変数表示で表すことができる。<br>
<math>
\begin{cases}
x = t + 2 \\ 
y = 2t + 1 
\end{cases}
</math><br>
<br>
上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 <math>y = 2x - 3</math> が成り立つことがわかる。<br>
<br>
==== 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線のベクトル方程式 ====
 定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義
 
 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線のベクトル方程式
 <math>\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})</math>
 （<math>\vec{n}</math> は直線の法線ベクトル）
<br>
下図に、定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線を示す。<br>
[[ファイル:Vector Equation 4.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
点 <math>P(\vec{p})</math> がこの直線上にあるということは、<math>\vec{n} \perp \overrightarrow{AP}</math> である。<br>
内積を用いて表すと、次式となる。<br>
<math>\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0</math><br>
<math>\therefore \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0</math><br>
<br>
例. 点 <math>A(2, 1), \, B(3, 3)</math> 、直線ABの式 <math>y = 2x - 3</math> とする時、この直線に垂直な直線の式を求める。<br>
[[ファイル:Vector Equation 5.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
P(x, y) として、ベクトルで考える。<br>
<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{A } = 0</math><br>
<math>\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0</math><br>
<math>x - 2 + 2y -2 = 0</math><br>
<math>2y = -x + 4</math><br>
<math>y = - \frac{1}{2}x + 2</math><br>
<br>
したがって、ベクトル方程式 <math>\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})</math> を用いて、定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線を表すことができる。<br>
<br><br>

== ベクトルの終点の存在範囲 ==
==== 定義 ====
 ベクトルの終点の存在範囲の定義
 
 <math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{OP} = \vec{p}, \, \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}</math> とする。（s、tは実数の変数）
 s、tに条件がある時，次のような図形を表す。
 
 直線AB
 <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ s + t = 1 \end{cases}</math>
 
 線分AB
 <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ s + t = 1 \\ s \ge 0 \\ t \ge 0 \\ \end{cases}</math>
 
 <math>\triangle OAB</math> の周と内部
 <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \le s + t \le 1 \\ s \ge 0 \\ t \ge 0 \\ \end{cases}</math>
 
 平行四辺形OACBの周と内部
 <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \le s \le 1 \\ 0 \le t \le 1 \\ \end{cases}</math>
<br>
==== 直線AB ====
異なる2点を通る直線のベクトル方程式の通り、点 <math>P(\vec{p})</math> が次式を満たしながら動く時、点 <math>P(\vec{p})</math> の存在範囲は直線ABとなる。<br>
[[ファイル:Vector Equation 2.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
<math>
\begin{cases} 
\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 
s + t = 1 
\end{cases}
</math><br>
<br>

==== 線分AB ====
点 <math>P(\vec{p})</math> の存在範囲を線分AB上に限定する場合を考える。<br>
[[ファイル:Vector Equation 7.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
* <math>t = 0 (s = 1)</math> の時、点 <math>P(\vec{p})</math> は、点 <math>A(\vec{a})</math> と一致する。
* <math>t = 0.5 (s = 0.5)</math> の時、点 <math>P(\vec{p})</math> は、線分ABの中点に位置する。
* <math>t = 1 (s = 0)</math> の時、点 <math>P(\vec{p})</math> は、点 <math>B(\vec{b})</math> と一致する。
<br>
つまり、<math>0 \le t \le 1 \, \, (0 \le s \le 1)</math> の時、線分ABを表現することができる。<br>
<br>
<math>
\begin{cases}
\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\
s + t = 1 \\
s \ge 0 \\
t \ge 0 \\
\end{cases}
\qquad
\mbox{は 、 線 分 AB を 表 す }
</math><br>
<br>
==== △OAB ====
例えば、<math>s + t = 0.5</math> の時、次式となり、<br>
tを <math>0 \le t \le 0.5</math> の範囲で変化させると、点Pは、下図(1)のように、線分ABに平行な線分A'B'上を動く。<br>
[[ファイル:Vector Equation 8.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
<math>
\begin{align} 
\vec{p} &= (0.5 - t) \vec{a} + t \vec{b} \\ 
&= 0.5 \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) \\ 
&= 0.5 \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB} 
\end{align}
</math><br>
<br>
そして、<math>s + t</math> を、<math>0 \le s + t \le 1</math> の範囲で変化させると、線分A'B'は、上図(2)のように、△OABの全体を動く。<br>
<br>
したがって、<br>
<math>
\begin{cases} 
\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\
0 \le s + t \le 1 \\
s \ge 0 \\
t \ge 0 \\
\end{cases}
\qquad
\mbox{は 、 △ OAB の 周 と 内 部 を 表 す }
</math><br>
<br>
==== 平行四辺形OACB ====
例えば、<math>s = 0.5</math> の時、<math>\vec{p} = 0.5 \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}</math> となり、<br>
tを <math>0 \le t \le 1</math> の範囲で変化させる時、点Pは、下図(1)の線分OBに平行な線分A'C'上を動く。<br>
[[ファイル:Vector Equation 6.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
次に、sを <math>0 \le s \le 1</math> の範囲で変化させる時、上図(2)のように、線分A'C'は、線分OBから線分ACまで平行に動く。<br>
<br>
したがって、<br>
<math>
\begin{cases} 
\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\
0 \le s \le 1 \\
0 \le t \le 1 \\
\end{cases}
\qquad
\mbox{は 、 平 行 四 辺 形  OACB の 周 と 内 部 を 表 す }
</math>
<br><br>

== 円のベクトル方程式 ==
==== 中心がC，半径がrの円のベクトル方程式 ====
 中心がC、半径がrの円のベクトル方程式の定義
 
 3つの定点を <math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> 、円周上の任意の点を <math>P(\vec{p})</math> とする。
 <math>|\vec{p} - \vec{c}| = r</math>
 または
 <math>(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^2</math>
<br>
下図に示すように、中心C、半径rの円上にある点Pについて考える。<br>
[[ファイル:Vector Equation 9.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
円の定義は、"中心Cからの距離がrである点の集まり"であるため、<math>CP = r</math> である。<br>
ベクトルで表すと、<math>| \overrightarrow{CP} | = r \quad \mbox{よ り } \quad | \vec{p} - \vec{c} | = r</math> である。<br>
<br>
ゆえに、<math>| \vec{p} - \vec{c} |^2 = r^2</math><br>
したがって、<math>( \vec{p} - \vec{c} ) \cdot ( \vec{p} - \vec{c} ) = r^2</math><br>
<br>
また、<math>C(a, b), \, P(x, y)</math> として成分で表すと、<math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> であり、円の方程式となる。<br>
<br>
==== 直径がABの円のベクトル方程式 ====
 円のベクトル方程式の定義 2
 
 3つの定点を <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b})</math> 、円周上の任意の点を <math>P(\vec{p})</math> とする。
 <math>(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math>
<br>
下図に示すように、直径がABの円周上の点Pについて考える。<br>
[[ファイル:Vector Equation 10.jpg|フレームなし|中央]]
<br>
直径に対する円周角は直角であるから、<math>AP \perp BP</math> であり、 <math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0</math> となる。<br>
したがって、次式となる。<br>
<math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math><br>
<math>\therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math><br>
<br><br>

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]