ベクトル - ベクトル方程式のソースを表示

== 概要 ==
ベクトル方程式とは、<u>"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"</u>のことである。<br>
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直線は、点の集合である。<br>
例えば，直線 <math>y = 2x + 1</math> は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。<br>
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ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。<br>
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル <math>P(\vec{p})</math> の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。<br>
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== 直線のベクトル方程式 ==
==== 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式 ====
 定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式
 
 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式
 <math>\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math>
<br>
点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線をgとする。<br>
点 <math>P(\vec{p})</math> が直線g上にあるということは、<math>\overrightarrow{AP} = t \vec{d}</math> と表すことができる。<br>
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<math>\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a}</math> より、<br>
<math>\vec{p} - \vec{a} = t \vec{d}</math><br>
<math>\therefore \vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math><br>
と表すことができる。<br>
<br>
この時、<math>\vec{d}</math> を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。<br>
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また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。<br>
原点をO、点Aの座標を <math>A(x1, y1)</math>、直線g上の任意の点を <math>P(x, y)</math> として、<math>\vec{d} = (l, m)</math> とする時、<br>
ベクトル方程式は、次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
(x, y) &= (x_1, y_1) + t (l, m) \\ 
& = (x_1 + lt, y_1 + mt)
\end{align}
</math><br>
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<math>
\begin{cases} 
x = x_1 + lt \\ 
y = y_1 + mt 
\end{cases}
</math><br>
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媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。<br>
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。<br>
 点 <math>(x_1, y_1)</math> を通り、<math>\vec{d} = (l, m)</math> が方向ベクトルである直線の方程式
 <math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>
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==== 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件） ====
 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義
 
 異なる2点 <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b})</math> を通る直線のベクトル方程式は、次式となる。
 <math>\vec{p} = (1 - t) \vec{a} + t \vec{b}</math>
 または
 <math>\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}, \, s + t = 1</math>
<br>
平面上の異なる2点 <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b})</math> を通る直線上に，点 <math>P(\vec{p})</math> があることを考える。<br>
この時、<math>\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB}</math> と表されるので、次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
\vec{p} &= \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) \\ 
&= (1 - t) \vec{a} + t \vec{b} 
\end{align}
</math><br>
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上式の方程式において、<math>1 - t = s</math> とおく時、次式としても表すことができる。<br>
<math>\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}</math><br>
<br>
例. <math>A(2, 1), \, B(3, 3)</math> の時、直線ABの式は <math>y = 2x - 3</math> である。<br>
P(x, y)として、ベクトルで考えると<br>
<math>
\begin{align} 
\vec{p} &= \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB} \\ 
(x, y)  &= \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) \\ 
&= (2, 1) + t (1, 2) \\ 
&= (t + 2, 2t + 1)
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、次式のように媒介変数表示で表すことができる。<br>
<math>
\begin{cases}
x = t + 2 \\ 
y = 2t + 1 
\end{cases}
</math><br>
<br>
上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 <math>y = 2x - 3</math> が成り立つことがわかる。<br>
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==== 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線のベクトル方程式 ====
 定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義
 
 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線のベクトル方程式
 <math>\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})</math>
 （<math>\vec{n}</math> は直線の法線ベクトル）
<br>
下図に、定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線を示す。<br>
<br>
点 <math>P(\vec{p})</math> がこの直線上にあるということは、<math>\vec{n} \perp \overrightarrow{AP}</math> である。<br>
内積を用いて表すと、次式となる。<br>
<math>\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0</math><br>
<math>\therefore \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0</math><br>
<br>
例. 点 <math>A(2, 1), \, B(3, 3)</math> 、直線ABの式 <math>y = 2x - 3</math> とする時、この直線に垂直な直線の式を求める。<br>
P(x, y) として、ベクトルで考えると
<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{A } = 0</math><br>
<math>\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0</math><br>
<math>x - 2 + 2y -2 = 0</math><br>
<math>2y = -x + 4</math><br>
<math>y = - \frac{1}{2}x + 2</math><br>
<br>
したがって、ベクトル方程式 <math>\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})</math> を用いて、定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線を表すことができる。<br>
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== ベクトルの終点の存在範囲 ==
 ベクトルの終点の存在範囲の定義
 
 <math>\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{OP} = \vec{p}, \, \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}</math> とする。（s、tは実数の変数）
 s、tに条件がある時，次のような図形を表す。
 
 直線AB
 <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ s + t = 1 \end{cases}</math>
 
 線分AB
 <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ s + t = 1 \\ s \ge 0 \\ t \ge 0 \\ \end{cases}</math>
 
 <math>\triangle OAB</math> の周と内部
 <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \le s + t \le 1 \\ s \ge 0 \\ t \ge 0 \\ \end{cases}</math>
 
 平行四辺形OACBの周と内部
 <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \le s \le 1 \\ 0 \le t \le 1 \\ \end{cases}</math>
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== 円のベクトル方程式 ==

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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]