ベクトル - ベクトル方程式のソースを表示

== 概要 ==
ベクトル方程式とは、<u>"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"</u>のことである。<br>
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直線は、点の集合である。<br>
例えば，直線 <math>y = 2x + 1</math> は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。<br>
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ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。<br>
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル <math>P(\vec{p})</math> の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。<br>
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== 直線のベクトル方程式 ==
==== 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式 ====
 定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式
 
 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式
 <math>\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math>
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点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線をgとする。<br>
点 <math>P(\vec{p})</math> が直線g上にあるということは、<math>\overrightarrow{AP} = t \vec{d}</math> と表すことができる。<br>
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<math>\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a}</math> より、<br>
<math>\vec{p} - \vec{a} = t \vec{d}</math><br>
<math>\therefore \vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math><br>
と表すことができる。<br>
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この時、<math>\vec{d}</math> を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。<br>
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また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。<br>
原点をO、点Aの座標を <math>A(x1, y1)</math>、直線g上の任意の点を <math>P(x, y)</math> として、<math>\vec{d} = (l, m)</math> とする時、<br>
ベクトル方程式は、次式となる。<br>
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\begin{align}
(x, y) &= (x_1, y_1) + t (l, m) \\ 
& = (x_1 + lt, y_1 + mt)
\end{align}
</math><br>
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<math>
\begin{cases} 
x = x_1 + lt \\ 
y = y_1 + mt 
\end{cases}
</math><br>
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媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。<br>
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。<br>
 点 <math>(x_1, y_1)</math> を通り、<math>\vec{d} = (l, m)</math> が方向ベクトルである直線の方程式
 <math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>
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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]