ベクトル - 位置ベクトルのソースを表示

== 概要 ==

<br><br>

== 内分点と外分点の位置ベクトル ==
==== ベクトルの伸縮 ====
例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、<math>OA:AX = 3:2</math>であるとする。<br>
この時、<math>\overrightarrow{OX}</math>は、<math>\overrightarrow{OA}</math>を伸縮することによって表すことができ、<math>\overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}</math> と書くことができる。<br>
[[ファイル:Position Vector 1.png|フレームなし|中央]]
<br>
==== 3点が一直線上にある条件 ====
3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル<math>\overrightarrow{AC}</math>が<math>\overrightarrow{AB}</math>を伸縮することにより表すことができる場合である。<br>
つまり、<math>\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在することである。<br>
<br>
 3点が一直線上にある条件
 
 3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する
<br>
==== 内分点の位置ベクトル ====
下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
[[ファイル:Position Vector 2.png|フレームなし|中央]]
<br>
<math>
\begin{align}
\vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\
&= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\
&= \left( 1 - \frac{m}{m + n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}
\end{align}
</math><br>
<br>
 内分点の位置ベクトル
 
 2点<math>A (\vec{a}), B(\vec{b})</math>を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点<math>X(\vec{x})</math>において、<math>\vec{x}</math>は、 <math>\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}</math> と表すことができる。
<br>
この式<math>\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}</math> の分子 <math>n\vec{a} + m\vec{b}</math> は、上図の太線で表したように、下図のようにたすき掛けのような形になっている。<br>
[[ファイル:Position Vector 3.png|フレームなし|中央]]
<br>
==== 外分点の位置ベクトル ====
下図のように、点Oに関して2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
[[ファイル:Position Vector 4.png|フレームなし|中央]]
<br>
<math>
\begin{align}
\vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\
&= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\
&= \left( 1 - \frac{m}{m - n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\
&= \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}
\end{align}
</math><br>
<br>
 外分点の位置ベクトル
 
 2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点<math>X(\vec{x})</math>において、<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> と表すことができる。
<br>
この式では、<u>"m:nに外分すること"</u>は、<u>"m:-nに内分すること"</u>と等しいことが分かる。<br>
また、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> は、分母・分子にー1を乗算することにより、<math>\vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}</math>とも書けるため、<br>
<u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。<br>
<br>
== ベクトルの垂直条件 ==
0ではない2つのベクトル<math>\vec{a}, \vec{b}</math> のなす角が90度の時、<math>\vec{a}</math>と<math>\vec{b}</math> は垂直(perpendicular)であるといい、<math>\boldsymbol{\vec{a} \perp \vec{b}}</math>と表す。<br>
また、<math>\vec{0}</math> は、全てのベクトルに対して垂直と定める。<br>
<br>
この時、<math>\vec{a}, \vec{b}</math> の内積は、<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos{90^\circ} = 0</math> となる。<br>
これは、<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = 0</math> ならば、<math>\vec{a} \perp \vec{b}</math> といえる。<br>
つまり、<math>\vec{a} \perp \vec{b} \Longleftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b} = 0</math> である。<br>
<br>
また、成分表示された2つのベクトル<math>\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}, \, \vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}</math>が垂直である時、<br>
<math>\dbinom{a_x}{a_y} \cdot \dbinom{b_x}{b_y} = 0 \, \Longleftrightarrow \, a_x b_x + a_y b_y = 0</math> が成り立つ。<br>
<br>
 ベクトルの垂直条件
 
 <math>\vec{a} \neq \vec{0}, \, \vec{b} \neq \vec{0}</math> であり、<math>\vec{a} = \dbinom{a_x}{a_y}, \, \vec{b} = \dbinom{b_x}{b_y}</math> とする。
 <math>\vec{a} \perp \vec{b} \, \Longleftrightarrow \, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \, \Longleftrightarrow \, a_x b_x + a_y b_y = 0</math>
<br><br>

==== 例題1. 内分点と外分点の座標 ====
 原点をO(0, 0)とする座標平面上に2点A(ax, ay)， B(bx, by)があり、線分ABをm:nに内分する点をXとする時、点Xの座標を求めよ。
 また、線分ABをm:nに外分する点をYとする時、点Yの座標を求めよ。
<br>
内分点の位置ベクトルの式から、次式が求められる。<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OX} &= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} \\
&= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB}
\end{align}
</math><br>
上式に、<math>\overrightarrow{OA} = \binom{a_x}{a_y}, \quad \overrightarrow{OB} = \binom{b_x}{b_y}</math>を用いると次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OX} &= \frac{n}{m + n} \dbinom{a_x}{a_y} + \frac{m}{m + n} \dbinom{b_x}{b_y} \\
&= \frac{1}{m + n} \dbinom{na_x}{na_y} + \frac{1}{m + n} \dbinom{mb_x}{mb_y} \\
&= \frac{1}{m + n} \dbinom{na_x + mb_x}{na_y + mb_y}
\end{align}
</math><br>
したがって、点Xの座標は<math>\boldsymbol { \left( \frac{na_x + mb_x}{m + n}, \quad \frac{na_y + mb_y}{m + n} \right) }</math>となる。<br>
<br>
また，外分点の位置ベクトルの式から、m:nに外分することは、m:-nに内分することと同じであるため、次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OY} &= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\
&= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB}
\end{align}
</math><br>
これに、<math>\overrightarrow{OA} = \dbinom{a_x}{a_y}, \quad \overrightarrow{OB} = \dbinom{b_x}{b_y}</math>を用いると次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OX} &= \frac{-n}{m - n} \dbinom{a_x}{a_y} + \frac{m}{m - n} \dbinom{b_x}{b_y} \\
&= \frac{1}{m - n} \dbinom{-na_x}{-na_y} + \frac{1}{m - n} \dbinom{mb_x}{mb_y} \\
&= \frac{1}{m - n} \dbinom{-na_x + mb_x}{-na_y + mb_y}
\end{align}
</math><br>
したがって、点Yの座標は、<math>\boldsymbol{ \left( \frac{-na_x + mb_x}{m - n}, \quad \frac{-na_y + mb_y}{m - n} \right) }</math> となる。<br>
<br>

==== 例題2. 3点が一直線上にある条件 ====
 △ABCの辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCを3:1に外分する点をQ、辺CAを2:3に内分する点をRとする時、3点P、Q、Rは一直線上にあることを示せ。
<br>
[[ファイル:Position Vector 5.png|フレームなし|中央]]
<br>
<math>\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \quad \overrightarrow{AC} = \vec{c}</math> とおくと、<math>\overrightarrow{AQ} = \frac{- \vec{b} + 3 \vec{c}}{3 - 1} = \frac{- \vec{b} + 3 \vec{c}}{2}</math> と表すことができる。<br>
<br>
したがって、<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} = - \frac{5}{6} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c} \\
\overrightarrow{PR} &= \overrightarrow{AR} - \overrightarrow{AP} = - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{c}
\end{align}</math><br>
<br>
以上より、<math>\overrightarrow{PR} = \frac{2}{5} \overrightarrow{PQ}</math> であり、P、Q、Rは同一直線上にある。<br>
<br>
==== 例題3. 重心の位置ベクトル ====
 重心の定義
 
 三角形の頂点からその対辺の中点を結んだ線(中線)は1点で交わり、その交点を三角形の重心という。
 重心は、3つの中線それぞれを2:1に内分する。
<br>
 △ABCの重心をGとする。
 
 1. <math>\overrightarrow{AG}</math> を <math>\overrightarrow{AB}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> を用いて表せ。
 2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、<math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> となるとき、重心の位置ベクトル<math>G(\vec{g})</math> を <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> で表せ。
<br>
* 1の解答
[[ファイル:Position Vector 6.png|フレームなし|中央]]
<br>
辺BCの中点をMとおくと、重心の定義より<math>BM:CM = 1:1</math> であるから、<math>\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}</math> となる。<br>
また、重心の性質より、<math>AG:GM = 2:1</math> であるから、次式が求められる。<br>
<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{AG} &= \frac{2}{3} \overrightarrow{AM} \\
&= \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \right) \\
&= \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\overrightarrow{AG} = \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} + \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AC}</math> となる。<br>
<br>
* 2の解答
[[ファイル:Position Vector 7.png|フレームなし|中央]]
<br>
<math>\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AG}</math> であるから、次式が求められる。<br>
<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OG} &= \vec{a} + \overrightarrow{AG} \\
&= \vec{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AG} = \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AB} + \boldsymbol{\frac{1}{3}} \overrightarrow{AC} \\
&= \vec{a} + \frac{1}{3} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{1}{3} \left( \vec{c} - \vec{a} \right) \\
&= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}
\end{align}
</math><br>
<br>
==== 例題4. 外心の位置ベクトル ====
 <math>AB = 3, BC = 7, CA = 5</math> である△ABCがある。<br>
 <math>\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \, \overrightarrow{AC} = \vec{c}, \, \triangle ABC \mbox{の 外 心 を O }</math> とする時、以下の問いに答えよ。
 
 1. <math>\vec{b} \cdot \vec{c}</math> を求めよ。
 2. <math>\overrightarrow{AO}</math> を <math>\vec{b}</math> と <math>\vec{c}</math> を用いて表せ。
<br>
[[ファイル:Position Vector 8.png|フレームなし|中央]]
<br>
* 1の解答
<math>\triangle ABC</math> に <math>\angle A</math> から余弦定理を用いる。<br>
余弦定理 : <math>BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\theta}</math><br>
ベクトルの内積 : <math>\vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{b} | | \vec{c} | \cos{\theta} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta}</math><br>
<br>
<math>
\begin{align}
|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\
&= \frac{9 + 25 - 49}{2} \\
&= - \frac{15}{2}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\vec{b} \cdot \vec{c} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \cos{\theta} = \boldsymbol{- \frac{15}{2}}</math><br>
<br>
* 2の解答
<math>\overrightarrow{AO} = x \vec{b} + y \vec{c}</math> とおく。<math>\overrightarrow{DO}</math> と <math>\overrightarrow{AB}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{DO} \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AD} \right) \cdot \overrightarrow{AB} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b} \right) \cdot \vec{b} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{b} \right|^2 + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) + y \vec{b} \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 9 \left(x - \frac{1}{2} \right) - \frac{15}{2} y = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow 18x - 15y = 9</math><br>
<math>\Leftrightarrow 6x - 5y = 3 \qquad (1)</math><br>
<br>
また、<math>\overrightarrow{EO}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> は直交するため、<br>
<math>\overrightarrow{\text{EO}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AE} \right) \cdot \overrightarrow{AC} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow \left( x \vec{b} + y \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{c} \right) \cdot \vec{c} = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + \left( y - \frac{1}{2} \right) \left| \vec{c} \right|^2 = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow x \vec{b} \cdot \vec{c} + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow - \frac{15}{2} x + 25 \left( y - \frac{1}{2} \right) = 0</math><br>
<math>\Leftrightarrow - 15x + 50y = 25</math><br>
<math>\Leftrightarrow - 3x + 10y = 5 \qquad (2)</math><br>
<br>
式(1)，(2)を連立すると、<br>
<math>
\begin{cases}
6x - 5y   &= 3 \\
-3x + 10y &= 5
\end{cases}
\quad \mbox{よ り } \quad
\begin{cases}
x &= \frac{11}{9}  \\
y &= \frac{13}{15} \\
\end{cases}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AO} = \frac{11}{9} \vec{b} + \frac{13}{15} \vec{c}}</math> となる。<br>
<br>

==== 例題5. 内心の位置ベクトル ====
 内心の定義
 
 三角形の3つの内角の二等分線は、1点で交わる。この交点を、内心という。
 内心は、3つの辺から等距離にあり、内心を中心として、△ABCに接する円を描くことができる。この円を、三角形の内接円という。
<br>
 <math>AB = c, BC = a, CA = b</math> である△ABCの内心をIとする。
 
 1. <math>\overrightarrow{AI}</math> を <math>\overrightarrow{AB}</math> と <math>\overrightarrow{AC}</math> を用いて表せ。
 2. ある基準点Oからの位置ベクトルが、<math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> となる時、内心の位置ベクトル<math>I(\vec{i})</math> を <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> で表せ。
<br>
* 1の解答
[[ファイル:Position Vector 9.png|フレームなし|中央]]
<br>
直線AIと線分BCの交点をDとすると，内心の定義より<math>\angle{BAD} = \angle{CAD}</math> である。<br>
角の二等分線の定理より、<math>BD:DC=c:b</math> となるから、<math>\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}</math> は次式となる。<br>
<math>\overrightarrow{AD} = \frac{b}{b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b + c} \overrightarrow{AC}</math><br>
<math>\overrightarrow{BD} = \frac{c}{b + c} \times a = \frac{ac}{b + c}</math><br>
<br>
また、内心の定義より、<math>\angle{ABI} = \angle{DBI}</math> である。<br>
角の二等分線の定理より、次式となる。<br>
<math>AI : ID = AB : BD</math><br>
<math>c : \frac{ac}{b + c} = b + c : a</math><br>
<br>
上式より、次式が求まる。<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{AI} &= \frac{AI}{AD} \overrightarrow{AD} \\
&= \frac{b + c}{a + b + c} \times \left( \frac{b}{b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{b + c} \overrightarrow{AC} \right) \\
&= \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{\overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC}}</math> となる。<br>
<br>
* 2の解答
[[ファイル:Position Vector 10.png|フレームなし|中央]]
<br>
<math>\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}</math>であるから、次式が求められる。<br>
<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OI} &= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{ c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \qquad \because \overrightarrow{AI} = \frac{b}{a + b + c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a + b + c} \overrightarrow{AC} \\
&= \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \qquad \because \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}, \quad \overrightarrow{AC} = \vec{c} - \vec{a} \\
&= \frac{a + b + c}{a + b + c} \, \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \left( \vec{b} - \vec{a} \right) + \frac{c}{a + b + c} \left(\vec{c} - \vec{a} \right) \\
&= \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b} + \frac{c}{a + b + c} \vec{c}
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、<math>\boldsymbol{ \vec{i} = \frac{a}{a + b + c} \vec{a} + \frac{b}{a + b + c} \vec{b}}</math> となる。<br>
<br><br>

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]