ベクトル - 位置ベクトルのソースを表示

== 概要 ==

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== 内分点と外分点の位置ベクトル ==
==== ベクトルの伸縮 ====
例えば、下図のように直線OA上に点Xがあり、<math>OA:AX = 3:2</math>であるとする。<br>
この時、<math>\overrightarrow{OX}</math>は、<math>\overrightarrow{OA}</math>を伸縮することによって表すことができ、<math>\overrightarrow{OX} = \frac{5}{3}\overrightarrow{OA}</math> と書くことができる。<br>
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==== 3点が一直線上にある条件 ====
3点A、B、Cが一直線上にあるのは、ベクトル<math>\overrightarrow{AC}</math>が<math>\overrightarrow{AB}</math>を伸縮することにより表すことができる場合である。<br>
つまり、<math>\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在することである。<br>
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 3点が一直線上にある条件
 
 3点A、B、Cが一直線上にある <math>\iff \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}</math> となる実数kが存在する
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==== 内分点の位置ベクトル ====
下図のように、点Oに関して、2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとるとき、線分ABをm:nの比に内分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
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\begin{align}
\vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\
&= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\
&= \left( 1 - \frac{m}{m + n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{n}{m + n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m + n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m + n} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}
\end{align}
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 内分点の位置ベクトル
 
 2点<math>A (\vec{a}), B(\vec{b})</math>を結ぶ線分ABをm:nの比に内分する点<math>X(\vec{x})</math>において、<math>\vec{x}</math>は、 <math>\vec{x} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}</math> と表すことができる。
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この式<math>\vec{x} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}</math> の分子 <math>n\vec{a} + m\vec{b}</math> は、上図の太線で表したように、たすき掛けのような形になっている。<br>
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==== 外分点の位置ベクトル ====
下図のように、点Oに関して2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>をとる時、線分ABをm:nの比に外分する点Xの位置ベクトルである<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{a}, \vec{b}, m, n</math>を用いて、次式のように表すことができる。<br>
<math>
\begin{align}
\vec{x} &= \overrightarrow{OX} \\
&= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AX} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 分 解 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{AB} \qquad \because \mbox{ベ ク ト ル の 伸 縮 } \\
&= \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \right) \qquad \because \mbox{始 点 を O に す る } \\
&= \left( 1 - \frac{m}{m - n} \right) \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{-n}{m - n} \overrightarrow{OA} + \frac{m}{m - n} \overrightarrow{OB} \\
&= \frac{-n \overrightarrow{OA} + m \overrightarrow{OB}}{m - n} \\
&= \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}
\end{align}
</math><br>
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 外分点の位置ベクトル
 
 2点<math>A(\vec{a}), B(\vec{b})</math>を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点<math>X(\vec{x})</math>において、<math>\vec{x}</math>は、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> と表すことができる。
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この式では、<u>"m:nに外分すること"</u>は、<u>"m:-nに内分すること"</u>と等しいことが分かる。<br>
また、<math>\vec{x} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}</math> は、分母・分子にー1を乗算することにより、<math>\vec{x} = \frac{- (-n \vec{a} + m \vec{b})}{- (m - n)} = \frac{n \vec{a} - m \vec{b}}{n - m}</math>とも書けるため、<br>
<u>"-m:nに内分すること"</u>とも等しいことがわかる。
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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]