極値のソースを表示

== 概要 ==

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== 1変数関数の極値 ==
==== 極値の見つけ方 ====
(微分可能な)関数<math>f(x)</math>が<math>x = a</math>で極値を取るならば、<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>である。<br>
対偶を取れば、<math>\frac{df(a)}{dx} \ne 0</math>となる点は、必ずしも極値ではない。<br>
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<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>はaで極値を取るための必要条件ではあるが、十分条件ではない。<br>
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例えば、<math>f(x) = x^3</math>の導関数は、<math>\frac{df(x)}{dx} = 3x^2</math>である。<br>
<math>\frac{df(x)}{dx} = 0</math>を解くと、<math>x = 0</math>が極値点の候補として見つかるが、<math>f(x) = x^3</math>において<math>x = 0</math>は極値点ではない。<br>
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これは、<math>x = \pm \frac{1}{10}</math>という点を考える時、<math>- \frac{1}{10^3} < f(0) < \frac{1}{10^3}</math>という関係が成り立つが、<math>f(0)</math>よりも大きな値を取る点と小さな値を取る点が、<math>x = 0</math>の近くにある。<br>
0のどんなに近くにも<math>f(0)</math>より大きくなる点と小さくなる点の両方が存在するため、極値ではない。<br>
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==== 極値の判定条件 ====
2階微分できる関数<math>f(x)</math>が存在する時、<math>\frac{df(a)}{dx} = 0</math>かつ<math>x = a</math>の前後で<math>\frac{df(x)}{dx}</math>の符号が変化するならば、関数<math>f(x)</math>は、<math>x = a</math>で極値をとる。<br>
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さらに、以下のように判定することができる。<br>
* <math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} > 0</math>ならば、<math>f(x)</math>は<math>x = a</math>で極小値をとる。
* <math>\frac{d^2 f(a)}{dx^2} < 0</math>ならば、<math>f(x)</math>は<math>x = a</math>で極大値をとる。


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__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]