第7回 - ベイズの定理のソースを表示

== 概要 ==
推定統計を学習する準備として、確率の基礎に関する次の事項を記載する。<br>
# 条件付き確率
# ベイズの定理
<br><br>

== 条件付き確率 ==
条件付き確率とは、2個の事象AとBがあるとき、既に事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる確率を条件付き確率P(B|A)という。<br>
P(B|A)<br>
P(左 : 合わせて起きる事象 | 右 : 既に起きた事象)<br>
<br>
条件付き確率の式(事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる条件付き確率)は、次式で表される。<br>
<math>P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{\frac{n(A \cap B)}{n(U)}}{\frac{n(A)}{n(U)}} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}</math><br>
<math>P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)</math><br>
<br>
条件付き確率P(B|A)と同時確率P(A∩B)の違い<br>
* 条件付き確率P(B|A)
*: 全事象をAのみとしている。
*: つまり、事象Aが起きた場合の中で、さらに事象Bも起きる確率P(B|A)を考える。
*: <br>
* 同時確率P(A∩B)
*: 全事象をUとしている。
*: つまり、事象Aが起きた場合のみに限定せず、A以外が起きる場合も合わせた上で事象AとBが同時に起きる確率を考える。
<br><br>

== ベイズの定理 ==
以下に、ベイズの定理の導出過程を示す。<br>
<br>
条件付き確率の計算式の2式<br>
<math>
\begin{cases}
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\end{cases}
</math><br>
<br>
上式より、次式が求まる。<br>
<math>
\begin{cases}
P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) \\
P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)
\end{cases}
</math><br>
<br>
さらに、上式をまとめると次式となる。<br>
<math>
\begin{align}
P(A|B) \times P(B) &= P(B|A) \times P(A)  \mbox{ よ り }\\
P(A|B) &= \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}
\end{align}
</math><br>
<br>
あるいは下図に示すように、事象Aが起こるという条件のもとで、K種類の事象(これらは互いに排反とする)が起きる時、<br>
事象Aが起きるという条件のもとで、事象B<sub>i</sub>が起きる条件付き確率は、次式から求められる。<br>
<math>P(B_{i}|A) = \frac{P(A \cap B_{i})}{P(A)} = \frac{P(A|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}</math><br>
<br>
また、<math>P(A) = P(A \cap B_{1}) + P(A \cap B_{2}) \cdots + P(A \cap B_{K})</math>である。<br>
これは、上図のそれぞれの事象における赤い事象Aの部分を足し合わせたものだと考えることができる。<br>
<math>
\begin{align}
P(B_{i}|A) &= \frac{P(A|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}\\
           &= \frac{P(A|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A \cap B_{1}) + P(A \cap B_{2}) \cdots + P(A \cap B_{K})} \\
           &= \frac{P(A|B_{i}) \times P(B_{i})}{\sum_{i=1}^K P(B_{i}) P(A|B_{i})}
\end{align}
</math><br>
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<br>
ベイズの定理とは、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P(A|B)が分かっている場合において、<br>
逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B|A)を与えるものである。<br>
<br><br>

== ベイズの定理の例 ==
あるガンの検査装置の性能が以下の通りとする。<br>
ここで、検出したを<math>A</math>、癌であるを<math>B</math>、癌ではないを<math>\bar B</math>とする。<br>
* 癌である被験者を検査して、癌と検出した確率
*: P(検出した | 癌である) = 0.9
*: <math>P(A | B) = 0.9</math>
* 癌ではない被験者を検査して、癌と検出した確率
*: P(検出した | 癌ではない) = 0.1
*: <math>P(A | \bar B) = 0.1</math>
* 癌である確率
*: P(癌である) = 0.001
*: <math>P(B) = 0.001</math>
* 癌ではない確率
*: P(癌ではない) = 0.999
*: <math>P(\bar B) = 0.999</math>
<br>
この時、検査装置が検出した時に被験者が癌である確率P(ガンである|検出した)を求めよ。<br>
<br>
検査装置が"検出した"事象には、"本当にガン"場合と"ガンでない"場合の両方が含まれる。<br>
そのため、"検出した"事象(下図の赤枠)を全体事象とみなす時、"本当に癌である"である確率を求める。<br>
<br>
以下に、求める手順を示す。<br>
# "検出した、かつ、癌である" <math>P(A \cap B)</math>の確率を求める。
#: P(検出した ∩ 癌である) = P(検出した | 癌である) × P(癌である)
#: <math>P(A \cap B) = P(A | B) \times P(B)</math>
# "検出した"事象(上図の赤枠)の範囲の確率を求める。
#: P(検出した) <math>= P(B)</math> 
# P(癌である | 検出した)を求める。
#: P(癌である | 検出した) = P(検出した ∩ 癌である) / P(検出した)
#: <math>P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}</math>
<br>
ベイズの定理より、下式を求める。<br>
P(癌である | 検出した) = P(検出した | 癌である) × P(癌である) / P(検出した)<br>
<math>P(B | A) = \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A)}</math><br>
<br>
まず、P(検出した ∩ 癌である)を求める。<br>
<math>
\begin{align}
P(A \cap B) &= P(A | B) \times P(B) \\
            &= 0.9 \times 0.001 \\
            &= 0.0009
\end{align}
</math><br>
<br>
次に、P(検出した)の確率の値は無いため、和事象の確率の公式を用いて求める。<br>
P(検出した) = P(検出した ∩ 癌である) + P(検出した ∩ 癌ではない)<br>
= P(検出した | 癌である) × P(癌である) + P(検出した | 癌ではない) × P(癌ではない)<br>
<math>
\begin{align}
P(A) &= P(A \cap B) + P(A \cap \bar B) \\
     &= P(A | B) \times P(B) + P(A | \bar B) \times P(\bar B) \\
     &= 0.9 \times 0.001 + 0.1 \times 0.999 \\
     &= 0.1008
\end{align}
</math><br>
<br>
最後に、P(癌である | 検出した)の確率を求める。<br>
<math>
\begin{align}
P(B | A) &= \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A)} \\ 
         &= \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A | B) \times P(B) + P(A | \bar B) \times P(\bar B)}  \\
         &= \frac{0.9 \times 0.001}{0.9 \times 0.001 + 0.1 \times 0.999} \\
         &= \frac{0.0009}{0.1008} \\
         &= 0.008928 \cdots \\
         &\cong 0.00893
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、検査装置の検査結果が癌と検出した場合であっても、実際に癌である確率は、P(癌である | 検出した) ≅ 0.00893しかない。<br>
<br>
では、P(癌である | 検出した)の確率が十分に高くするには、検査装置の性能はどうあればよいかを考える。(例 : 0.9)<br>
例えば、P(検出した | 癌である) = 0.9999、P(検出した | 癌ではない) = 0.0001とする時、以下の値となる。<br>
<math>
\begin{align}
P(B | A) &= \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A)} \\ 
         &= \frac{P(A | B) \times P(B)}{P(A | B) \times P(B) + P(A | \bar B) \times P(\bar B)}  \\
         &= \frac{0.9999 \times 0.001}{0.9999 \times 0.001 + 0.0001 \times 0.999} \\
         &= \frac{0.0009999}{0.0010998} \\
         &= 0.909165 \cdots \\
         &\cong 0.90917
\end{align}
</math><br>
<br>
したがって、P(癌である) = 0.001のような癌に罹る確率が低い時は、癌患者に対する検査装置の結果が癌と検出する確率は、<br>
P(検出した | 癌である) = 0.9999と非常に高い確率でなくてはならない。<br>
<br><br>

__FORCETOC__
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