第7回 - ベイズの定理のソースを表示

== 概要 ==
推定統計を学習する準備として、確率の基礎に関する次の事項を記載する。<br>
# 条件付き確率
# ベイズの定理
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== 条件付き確率 ==
条件付き確率とは、2個の事象AとBがあるとき、既に事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる確率を条件付き確率P(B|A)という。<br>
P(B|A)<br>
P(左 : 合わせて起きる事象 | 右 : 既に起きた事象)<br>
<br>
条件付き確率の式(事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる条件付き確率)は、次式で表される。<br>
<math>P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{\frac{n(A \cap B)}{n(U)}}{\frac{n(A)}{n(U)}} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}</math><br>
<math>P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)</math><br>
<br>
条件付き確率P(B|A)と同時確率P(A∩B)の違い<br>
* 条件付き確率P(B|A)
*: 全事象をAのみとしている。
*: つまり、事象Aが起きた場合の中で、さらに事象Bも起きる確率P(B|A)を考える。
*: <br>
* 同時確率P(A∩B)
*: 全事象をUとしている。
*: つまり、事象Aが起きた場合のみに限定せず、A以外が起きる場合も合わせた上で事象AとBが同時に起きる確率を考える。
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== ベイズの定理 ==
以下に、ベイズの定理の導出過程を示す。<br>
<br>
条件付き確率の計算式の2式<br>
<math>
\begin{cases}
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\end{cases}
</math><br>
<br>
上式より、次式が求まる。<br>
<math>
\begin{cases}
P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) \\
P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)
\end{cases}
</math><br>
<br>
さらに、上式をまとめると次式となる。<br>
<br>
<math>P(A|B) \times P(B) = P(B|A) \times P(A)</math><br>
<br>
<math>P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}</math><br>
<br>
あるいは下図に示すように、<br>
<math>P(B_{i}|A) = \frac{P(A|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}</math><br>
<br>
ベイズの定理は、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P(A|B)が分かっている場合において、<br>
逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B|A)を与えるものである。<br>
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