数列 - 等差数列・等比数列・階差数列のソースを表示

== 概要 ==

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== 階差数列 ==
==== 基本 ====
元の数列の隣り合う項の差を順番に並べたものを第1階差数列と呼ぶ。<br>
<math>a_n = a_{n + 1} - a_n</math> と表す。<br>
<br>
第1階差数列から、さらに階差を取ったものを第2階差数列と呼ぶ。<br>
これを繰り返すことで第3、第4...階差数列が得られる。<br>
<br>
 例:
 
 原数列:  2, 5, 10, 17, 26, 37
 第1階差:  3,  5,  7,  9,  11
 第2階差:     2,  2,  2,  2
<br>
==== 性質 ====
等差数列の第1階差数列は、定数列になる。<br>
等比数列の第1階差数列は、元の数列の定数倍になる。<br>
n次式で表される数列の第n階差数列は、定数列になる。<br>
<br>
==== 活用方法 ====
* 数列のパターンを見つける場合
* 与えられた数列が何次式で表されるかを判断できる。
* 数列の一般項を求める場合のヒントになる。
<br>
==== 応用例 ====
数列 2, 5, 10, 17, 26, 37 の一般項を求める場合、第2階差が定数列であるため、2次式で表されることがわかる。<br>
これは、<math>a_n = \alpha n^2 + \beta n + \gamma</math> の形で表される。<br>
<br>
計算により、<br>
<math>b_n = 3 + 2(n -1) = 2n + 1</math><br>
<math>
\begin{alignat}{2}
a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {b_k}   \\
    &= 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {2n + 1)} \\
    &= 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} {n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} {1} \\
    &= 2 + 2 \cdot \frac{n (n + 1)}{2} + (n - 1) \\
    &= 2 + n(n - 1) + n - 1                      \\
    &= n^2 + 1
\end{alignat}
</math><br>
<br>
したがって、<math>a_n = n^2 + 1</math> と求められる。<br>
<br>
階差数列の考え方を用いれば、複雑に見える数列でもその規則性を見つけやすくなる。<br>
特に、多項式で表される数列の分析に効果的である。<br>
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