回路計算 - スターデルタ変換のソースを表示

== 概要 ==
スター結線 (Y結線) は、3つの巻線の一端を共通の中性点 (ニュートラルポイント) で接続する方式である。<br>
形状が「Y」の文字に似ていることから、Y結線とも呼ばれている。<br>
<br>
<u>スター結線では、各相の電圧 (相電圧) は線間電圧の <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> となる。</u><br>
主に、変圧器の低圧側や誘導電動機の固定子巻線で使用されており、家庭用電源としても広く採用されている。<br>
<br>
デルタ結線 (Δ結線) は、3つの巻線を三角形状に接続する方式である。<br>
ギリシャ文字のΔ (デルタ) に形状が似ていることから、この名称がついている。<br>
<br>
<u>デルタ結線では、相電流は線電流の <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math> となる。</u><br>
主に、変圧器の高圧側や大型の誘導電動機で使用されることが多く、大電流に適している。<br>
<br>
[[ファイル:Star-Delta 1.png|フレームなし|中央]]
<br>
これら2つの結線方式の主な特徴を比較する。<br>
* スター結線
*: 中性点があるため、単相負荷にも対応可能
*: 絶縁耐力の面で有利
*: 小電流向き
<br>
* デルタ結線
*: 大電流に適している
*: 相間の電圧と線間の電圧が等しい
*: 故障時でも運転継続が可能な場合がある
<br>
実際の使用場面では、これらの特徴を考慮して使い分けられる。<br>
例えば、配電系統では需要家側 (低圧側) にスター結線を、送電側 (高圧側) にデルタ結線を採用することが一般的である。<br>
<br>
また、変圧器では1次側と2次側で異なる結線方式を組み合わせることにより、位相差の調整なども行っている。<br>
<br>
これらの結線方式は、電気設備の設計や保守において非常に重要な基礎知識となる。<br>
<br><br>

== 相電圧と線間電圧 ==
これらの電圧関係は、三相交流回路の解析や設計において非常に重要である。<br>
<br>
特に、変圧器やモータ等の機器の結線方式を選択する場合の基準となる。<br>
<br>
==== スター結線 (Y結線) の場合 ====
* 相電圧
*: 中性点 (N) と各相端子 (A、B、C) 間の電圧を指す。
*: 下図の青い矢印で示している。
<br>
* 線間電圧
*: 各相端子間 (A-B間、B-C間、C-A間) の電圧を指す。
*: 下図の赤い矢印で示している。
*: 線間電圧は、相電圧の <math>\sqrt{3}</math> 倍となる。
<br>
==== デルタ結線 (Δ結線) の場合 ====
* 相電圧
*: 各辺 (抵抗やコイル) に加わる電圧を指す。
*: 下図の青い矢印で示している。
<br>
* 線間電圧
*: 各端子間 (A-B間、B-C間、C-A間) の電圧を指す。
*: 下図の赤い矢印で示している。
*: 相電圧と線間電圧は等しくなる。
<br><br>

== Y結線における線間電圧と相電圧の関係 ==
==== 電圧の大きさ ====
Y結線における線間電圧が相電圧の <math>\sqrt{3}</math> 倍になる理由は、三相交流のベクトル関係から説明できる。<br>
<br>
三相交流における各相電圧は、時間的に120度ずつ位相がずれている。<br>
下図において、黒い矢印は各相電圧ベクトル (E<sub>U</sub>、E<sub>V</sub>、E<sub>W</sub>)、青い矢印は線間電圧ベクトル (E<sub>UV</sub>) とする。<br>
<br>
[[ファイル:Star-Delta 3.png|フレームなし|中央]]
<br>
線間電圧が相電圧の <math>\sqrt{3}</math> 倍になる計算過程を以下に示す。<br>
<br>
各相電圧ベクトルは大きさが等しく (Eとおく) 、互いに120度の角度をなす。<br>
線間電圧は2つの相電圧ベクトルの差として表される。<br>
<br>
例えば、U相とV相間の線間電圧E<sub>UV</sub>は、<math>E_{UV} = E_U - E_V</math> である。<br>
<br>
2つのベクトルのなす角が120°の場合、その差ベクトルの大きさは<u>余弦定理</u>より次式で求められる。<br>
<math>|E_{UV}| = \sqrt{(E_U)^2 + (E_V)^2 - 2 \cdot E_U \cdot E_V \cdot \cos{120^\circ}}</math><br>
<br>
<math>\cos{120^\circ} = -0.5</math> なので、<br>
<math>
\begin{align}
|E_{UV}| &= \sqrt{E^2 + E^2 - 2 \cdot E \cdot E \cdot (-0.5)} \\
         &= \sqrt{2E^2 + E^2} \\
         &= \sqrt{3}E
\end{align}
</math><br>
<br>
上記のように、ベクトルの演算により、線間電圧は相電圧の<math>\sqrt{3}</math> 倍となることが証明される。
<br>
これは、三相交流システムの重要な特性の1つであり、変圧器やモータの設計、電力供給システムの構築において基本的な関係である。<br>
<br>
==== 位相 ====
Y結線の三相交流回路では、線間電圧の位相が相電圧よりも30°進む。<br>
<br>
まず、u相とv相に着目すると、相電圧E<sub>U</sub>と相電圧E<sub>V</sub>は位相が120°ずれるため、ベクトルで表すと下図(a)のようになる。<br>
ここで、線間電圧V<sub>UV</sub>は、E<sub>U</sub>と-E<sub>V</sub>を足したものである。<br>
<br>
V<sub>UV</sub>の大きさは下図(b)のような直角三角形が現れることから、EUの <math>\sqrt3</math> 倍となり、位相がE<sub>U</sub>に比べて30°進むことが理解できる。<br>
<br>
[[ファイル:Star-Delta 4.png|フレームなし|中央]]
<br><br>

== Y-Δ変換 (スターデルタ変換) ==
スター結線 (Y結線) とデルタ結線 (Δ結線) は、互いに等価な回路に変換することができる。<br>
スター結線 (Y結線) を等価なデルタ結線 (Δ結線) に変換する時、この変換を<u>スターデルタ変換</u>という。<br>
<br>
スターデルタ変換は、スターデルタ等価変換と呼ばれることもある。<br>
<br>
==== 抵抗値の変換 ====
スター結線の抵抗をR<sub>A</sub>、R<sub>B</sub>、R<sub>C</sub>、変換後のデルタ結線の抵抗をR<sub>AB</sub>、R<sub>BC</sub>、R<sub>CA</sub>とする時、次式で求められる。<br>
<br>
[[ファイル:Star-Delta 2.png|フレームなし|中央]]
<br>
<math>
\begin{array}{lcl}
R_{AB} &= \frac{(R_A \, R_B + R_B \, R_C + R_C \, R_A)}{R_C} \\
R_{BC} &= \frac{(R_A \, R_B + R_B \, R_C + R_C \, R_A)}{R_A} \\
R_{CA} &= \frac{(R_A \, R_B + R_B \, R_C + R_C \, R_A)}{R_B}
\end{array}
</math>
<br>
上式は、分子が3つの抵抗値の積の組み合わせの和となっており、分母がその対角に位置する抵抗値となっていることが特徴である。<br>
<br>
分子部分をZとおいて、<math>Z = R_A \, R_B + R_B \, R_C + R_C \, R_A</math> とする時、次式のように表すこともできる。<br>
次式のように整理する場合、計算がより簡単になる。<br>
<math>
\begin{array}{lcl}
R_{AB} &= \frac{Z}{R_C} \\
R_{BC} &= \frac{Z}{R_A} \\
R_{CA} &= \frac{Z}{R_B}
\end{array}
</math>
<br>
この変換式を使用することにより、スター結線の回路を等価なデルタ結線の回路に変換することができる。<br>
<br>
なお、3つの抵抗が同じ場合は、<math>R = R_A = R_B = R_C</math> となり、<br>
<math>
\begin{align}
R_{AB} & = \frac{3R^{2}}{R} \\
       & = 3R \\
R_{BC} & = \frac{3R^{2}}{R} \\
       & = 3R \\
R_{CA} & = \frac{3R^{2}}{R} \\
       & = 3R \\
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>\therefore R_{AB} = 3R \quad R_{BC} = 3R \quad R_{CA} = 3R</math><br>
<br>
となるため、スターデルタ変換後のデルタ結線 (Δ結線) の抵抗値は、スター結線 (Y結線) の抵抗値の3倍になる。<br>
<br><br>


{{#seo:
|title={{PAGENAME}} : Exploring Electronics and SUSE Linux | MochiuWiki
|keywords=MochiuWiki,Mochiu,Wiki,Mochiu Wiki,Electric Circuit,Electric,pcb,Mathematics,AVR,TI,STMicro,AVR,ATmega,MSP430,STM,Arduino,Xilinx,FPGA,Verilog,HDL,PinePhone,Pine Phone,Raspberry,Raspberry Pi,C,C++,C#,Qt,Qml,MFC,Shell,Bash,Zsh,Fish,SUSE,SLE,Suse Enterprise,Suse Linux,openSUSE,open SUSE,Leap,Linux,uCLnux,Podman,電気回路,電子回路,基板,プリント基板
|description={{PAGENAME}} - 電子回路とSUSE Linuxに関する情報 | This page is {{PAGENAME}} in our wiki about electronic circuits and SUSE Linux
|image=/resources/assets/MochiuLogo_Single_Blue.png
}}

__FORCETOC__
[[カテゴリ:回路計算]]