畳み込み積分のソースを表示

== 概要 ==
次式に示すように、2つの関数f(t)とg(t)から、新しい関数y(t)を作る。<br>
<br>
この時、y(t)をf(t)とg(t)の合成積、または、畳み込み積分と呼ぶ。<br>
<math>y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math><br>
<br>
<math>y(t) = f(t)*g(t) \, \,</math> あるいは <math>\, \, y = f * g</math> と記述されることもある。<br>
<br>
また、以下に示すように、畳み込み積分は可換である。<br>
<math>
\begin{align}
y(t) &= f * g = \int_{- \infty}^{\infty} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau \\
&= \int_{\infty}^{- \infty} {f(t - u)g(u)} (-1) du \quad \because u = t - \tau, \quad -du = d \tau \\
&= \int_{- \infty}^{\infty} {g(u)f(t - u)} du \\
&= g * f
\end{align}
</math><br>
<br><br>

== システムの安定性 ==
BIBO安定条件<br>
<math>| x(t) | < M \Longrightarrow | y(t) | < N</math><br>
<br>
因果性システムの線形時不変の場合、<math>\int_0^{\infty} | g(t) | dt < \infty</math> で安定する。<br>
<br><br>

== 畳み込み積分の計算例 ==
下図に示す系があるとする。<br>
[[ファイル:Convolution Integral 1.png|中央]]
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入力関数 : <math>f(t) = 1 \quad \cdots \quad t \ge 0</math><br>
応答関数 : <math>g(t) = 2 \left( 1 - \frac{t}{5} \right)</math><br>
<br>
<math>y(t) = \int_0^t {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau</math> より、<br>
<br>
<math>t < 0</math> の時<br>
<math>f(\tau)</math> と <math>g(t - \tau)</math> の重なる部分が無いため、<math>y(t) = 0</math><br>
<br>
<math>t = 1</math> の時<br>
<math>
\begin{align}
y(t) &= \int_0^1 {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau \\
&= \int_0^1 {f(\tau) g(1 - \tau)} d \tau \\
&= \int_0^1 {2(1 - \frac{1}{5} + \frac{\tau}{5})} d \tau \\
&= 2 \left[ \frac{4}{5} \tau + \frac{\tau^2}{10} \right]_0^1 \\
&= 2 \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{10} \right) \\
&= \frac{9}{5}
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>t = 5</math> の時<br>
<math>
\begin{align}
y(t) &= \int_0^5 {f(\tau) g(t - \tau)} d \tau \\
&= \int_0^5 {f(\tau) g(5 - \tau)} d \tau \\
&= \int_0^5 {2(1 -1 + \frac{\tau}{5})} d \tau \\
&= 2 \left[ \frac{\tau^2}{10} \right]_0^5 \\
&= 2 \frac{5}{2} \\
&= 5
\end{align}
</math><br>
<br>
<math>0 \le t \le 5</math> の時<br>
<math>
\begin{align}
y(t) &= \int_0^t {2(1 - \frac{t}{5} + \frac{\tau}{5})} d \tau \\
&= 2 \left[ \tau - \frac{t}{5} \tau + \frac{\tau^2}{10} \right]_0^t \\
&= 2 \left( t - \frac{t^2}{5} + \frac{t^2}{10} \right) \\
&= 2t - \frac{t^2}{5}
\end{align}
</math><br>
<br>
下図に、畳み込み積分の出力波形を示す。<br>
[[ファイル:Convolution Integral 2.png|フレームなし|中央]]
<br>
<math>
\begin{cases}
y(t) &= 0  \quad \cdots \quad t < 0 \\
y(t) &= 2t - \frac{t^2}{5} \quad \cdots \quad 0 \le t \le 5 \\
y(t) &= 5 \quad \cdots \quad t > 0
\end{cases}
</math>
<br><br>

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]