電気理論 - クーロンの法則 - 版の履歴

2021年1月6日 (水) 14:07にWikiによる

2021-01-06T14:07:51Z

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	<br>		<br>
	この法則をクーロンの法則と呼び、2つの帯電体に働く力のことをクーロン力と呼ぶ。<br>		この法則をクーロンの法則と呼び、2つの帯電体に働く力のことをクーロン力と呼ぶ。<br>
			[[ファイル:Electrical Theory Coulomb 1.jpg\|フレームなし\|中央]]
	<center>'''図. それぞれの影響を及ぼし合う電荷((a)、(b)は十分離れており、影響を及ぼし合わないとする)'''</center><br>		<center>'''図. それぞれの影響を及ぼし合う電荷((a)、(b)は十分離れており、影響を及ぼし合わないとする)'''</center><br>
	<br><br>		<br><br>
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	2つの帯電体の電荷の符号が同じ場合は引き離す向きに、符号が異なる場合は引き合う向きにクーロン力が掛かる。<br>		2つの帯電体の電荷の符号が同じ場合は引き離す向きに、符号が異なる場合は引き合う向きにクーロン力が掛かる。<br>
	つまり、電荷Q1とQ2に帯電した電荷を置き、そこに掛かる力を示すと下図のようになる。<br>		つまり、電荷Q1とQ2に帯電した電荷を置き、そこに掛かる力を示すと下図のようになる。<br>
			[[ファイル:Electrical Theory Coulomb 2.jpg\|フレームなし\|中央]]
	<center>'''図. 帯電した物体の位置ベクトルとクーロン力のベクトル'''</center><br>		<center>'''図. 帯電した物体の位置ベクトルとクーロン力のベクトル'''</center><br>
	<br>		<br>
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	Q1は、他の2つのQ2、Q3からクーロン力を受ける。<br>		Q1は、他の2つのQ2、Q3からクーロン力を受ける。<br>
	Q1が、Q2から受ける力をF12、Q3から受ける力をF13とする。(Q1、Q2、Q3の電荷は全て同符号であるとする)<br>		Q1が、Q2から受ける力をF12、Q3から受ける力をF13とする。(Q1、Q2、Q3の電荷は全て同符号であるとする)<br>
			[[ファイル:Electrical Theory Coulomb 3.jpg\|フレームなし\|中央]]
	<center>'''図. 3つの帯電体'''</center><br>		<center>'''図. 3つの帯電体'''</center><br>
	<br>		<br>

Wiki: /* クーロンの法則のベクトル表記 */

2021-01-06T13:40:02Z

クーロンの法則のベクトル表記

← 古い版		2021年1月6日 (水) 22:40時点における版
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	<br>		<br>
	クーロンの法則で示されたものは、次式(1)で表される。rは、2つの電荷間の距離である。<br>		クーロンの法則で示されたものは、次式(1)で表される。rは、2つの電荷間の距離である。<br>
	式(1)~~で示されるクーロン力は大きさは示しているので、向きを与えればよい。~~<br>		式(1)で示されるクーロン力は大きさだけを示しているので、向きを与えればよい。<br>
	<math>F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \ \ (1)</math><br>		<math>F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \ \ (1)</math><br>
	<br>		<br>
94行目:		94行目:
	\end{align}		\end{align}
	</math><br>		</math><br>
			<br><br>

			== 3つ以上の電荷がある場合のクーロン力 ==
			下図のように、3つの帯電体が置かれている場合を考える。<br>
			<br>
			Q1は、他の2つのQ2、Q3からクーロン力を受ける。<br>
			Q1が、Q2から受ける力をF12、Q3から受ける力をF13とする。(Q1、Q2、Q3の電荷は全て同符号であるとする)<br>

			<center>'''図. 3つの帯電体'''</center><br>
			<br>
			この時、Q1が受けるクーロン力F1は、次式のようなベクトルの加算で表す。<br>
			<math>{\bf F}_1 = {\bf F}_{12} + {\bf F}_{13}</math><br>
			<br>
			このように個々の帯電体から受ける力を足し合わせることで、Q1に帯電した物体にかかるクーロン力を表すことができる。<br>
			これを、重ね合わせの法則と呼ぶ。<br>
			<br>
			帯電体が増えたとしてもこの重ね合わせの法則は有効である。<br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:回路計算]]		[[カテゴリ:回路計算]]

Wiki: /* クーロンの法則 */

2021-01-06T13:25:04Z

クーロンの法則

← 古い版		2021年1月6日 (水) 22:25時点における版
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	クーロンの法則において、上図を用いて説明する。<br>		クーロンの法則において、上図を用いて説明する。<br>
	<br>		<br>
	~~上図のように、電荷Q1と電荷Q2も持った物体が置かれている場合を考える。~~ <br>		上図のように、帯電体Q1、Q2が置かれている場合を考える。 <br>
	* Q1とQ2が異なる符号の電荷の場合、互いの物体は引かれあう。(吸引力)		* Q1とQ2が異なる符号の電荷の場合、互いの物体は引かれあう。(吸引力)
	* Q1とQ2が同じ符号の場合、互いの物体は離れる向きにクーロン力が掛かる。(斥力)		* Q1とQ2が同じ符号の場合、互いの物体は離れる向きにクーロン力が掛かる。(斥力)
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	次式は、クーロン力の式である。<br>		次式は、クーロン力の式である。<br>
	ここでは、クーロン力をF、帯電体のそれぞれの電荷をQ1、Q2、2つの帯電体の距離をrとしている。<br>		ここでは、クーロン力をF、帯電体のそれぞれの電荷をQ1、Q2、2つの帯電体の距離をrとしている。<br>
	<math>F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2}</math><br>		<math>F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \ \ [N]</math><br>
	<br>		<br>
	~~この時、1~~/~~4πε0は比例係数、ε0は真空の誘電率である。~~<br>		この時、<math>\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}</math>は比例係数、<math>\epsilon_0</math>は真空の誘電率である。<br>
	<math>\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 8.988 \times 10^{9} \ \ [N \cdot m^2/C^2]</math><br>		<math>
			\begin{align}
			\epsilon_0 &= 8.854187817 \cdots \times 10^{-12} \ \ [C^2 / N \cdot m^2] \\
			\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} &= 8.988 \times 10^{9} \ \ [N \cdot m^2 / C^2]
			\end{align}
			</math><br>
	<br>		<br>
	クーロン力と似た力として万有引力が有名であるが、万有引力は引き合う力だけで、クーロン力のように引き離す力(斥力)は存在しない。<br>		クーロン力と似た力として万有引力が有名であるが、万有引力は引き合う力だけで、クーロン力のように引き離す力(斥力)は存在しない。<br>
	~~このように、クーロン力の場合は、電荷の正負に注意しながら力かかる方向を考えなければいけない。~~ <br>		このように、クーロン力の場合は、電荷の正負に注意しながら力が加わる方向を考えなければいけない。 <br>
	<br><br>		<br><br>

2021年1月6日 (水) 12:32にWikiによる

2021-01-06T12:32:32Z

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 == 概論 ==
 クーロン力は向きと大きさを持つので、ベクトル表記をすることができる。<br>
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Wiki: ページの作成:「== 概論 == クーロン力は向きと大きさを持つので、ベクトル表記をすることができる。

クーロンの法則で示されたものは…」

2021-01-06T07:55:02Z

ページの作成:「== 概論 == クーロン力は向きと大きさを持つので、ベクトル表記をすることができる。 クーロンの法則で示されたものは…」

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== 概論 ==
クーロン力は向きと大きさを持つので、ベクトル表記をすることができる。 
 
クーロンの法則で示されたものは、次式(1)で表される。rは、2つの電荷間の距離である。 
式(1)で示されるクーロン力は大きさは示しているので、向きを与えればよい。 
<math>F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \ \ (1)</math> 
 
下図に、クーロン力はどの方向に掛かるかを示す。 
2つの帯電体がある場合、2つの帯電体を結んだ直線上にクーロン力が掛かる。 
2つの帯電体の電荷の符号が同じ場合は引き離す向きに、符号が異なる場合は引き合う向きにクーロン力が掛かる。 
つまり、電荷Q1とQ2に帯電した電荷を置き、そこに掛かる力を示すと下図のようになる。 

<center>'''図. 帯電した物体の位置ベクトルとクーロン力のベクトル'''</center> 
 
上図において、黒い矢印のクーロン力をベクトルで表記する。 
まず、上図のように、電荷Q1とQ2の位置ベクトルr1、r2から、2つの電荷を結んだ直線と同じ向きの(Q2からQ1へ向かう)ベクトルr12を求める。 
<math>{\bf r}_{12} = {\bf r}_1 - {\bf r}_2 \ \ (2)</math> 
 
このr12を電荷Q1に掛かるクーロン力F1に乗算すれば、F1に向きを与えることができる。 
しかし、r12は大きさを持っているため、そのまま乗算するとクーロン力の大きさが変わってしまう。 
そこで、r12と同じ向きかつ大きさ1の単位ベクトルを乗算することで、電荷Q1の大きさを変えることなく、向きだけを与えることができる。 
 
ベクトルを単位ベクトルにするには、そのベクトルのノルムでベクトルを除算する。 
つまり、r12の単位ベクトルは次式(3)となる。 
<math>{\bf \hat{r}}_{12} =\frac{{\bf r}_{12}}{\left| {\bf r}_{12} \right|} = \frac{{\bf r}_1 - {\bf r}_2}{\left| {\bf r}_1 - {\bf r}_2 \right|} \ \ (3)</math> 
 
上式(3)を式(1)に乗算することで、クーロン力をベクトル表記できる。 
<math>
\begin{align}
{\bf F}_1 &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{r_{12}^2} {\bf \hat{r}}_{12} \\
&= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{\left| {\bf r}_1 - {\bf r}_2 \right|^2} \frac{{\bf r}_1 - {\bf r}_2}{\left| {\bf r}_1 - {\bf r}_2 \right|} \ \ (4)
\end{align}
</math> 
 
また、電荷Q2に掛かるクーロン力は、単位ベクトルr12の向きを反対にすればよい。 
式(2)のベクトルr1とr2の減算を入れ替えればよい。 
したがって、電荷Q2に掛かるクーロン力F2は、次式でと表される。 
<math>{\bf F}_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{\left| {\bf r}_2 - {\bf r}_1 \right|^2} \frac{{\bf r}_2 - {\bf r}_1}{\left| {\bf r}_2 - {\bf r}_1 \right|} \ \ (5)</math> 
 
最後に、電荷Q1の座標を(x1, y1, z1)、電荷Q2の座標を(x2, y2, z2)とする時、クーロン力のx方向、y方向、z方向の成分は以下のようになる。 
まず、式(4)を変形して、次式(6)とする。 
<math>
\begin{align}
{\bf F}_1 &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{Q_1 Q_2}{r_{12}^2} {\bf \hat{r}}_{12} \\
&= F_1 \frac{{\bf r}_1 - {\bf r}_2}{\left| {\bf r}_1 - {\bf r}_2 \right|} \ \ (6)
\end{align}
</math> 
 
この時、各方向成分は次式(7)〜(9)となる。 
したがって、2つの電荷の座標と電荷量がわかれば、その電荷に掛かるクーロン力の各方向成分は分かる。 
<math>
\begin{align}
F_{1x} &= F_1 \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{ (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 }} &(7) \\
F_{1y} &= F_1 \frac{y_1 - y_2}{\sqrt{ (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 }} &(8) \\
F_{1z} &= F_1 \frac{z_1 - z_2}{\sqrt{ (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 }} &(9)
\end{align}
</math> 
 

__FORCETOC__
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電気理論 - クーロンの法則 - 版の履歴

2021年1月6日 (水) 14:07にWikiによる

Wiki: /* クーロンの法則のベクトル表記 */

Wiki: /* クーロンの法則 */

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クーロンの法則で示されたものは…」