線形代数の基礎 - 逆行列 - 版の履歴

Wiki: /* 逆行列の求め方 2：掃き出し法 */

2024-10-31T19:16:12Z

逆行列の求め方 2：掃き出し法

← 古い版		2024年11月1日 (金) 04:16時点における版
125行目:		125行目:
	したがって、<math>A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>となる。<br>		したがって、<math>A^{-1} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math>となる。<br>
	<br><br>		<br><br>


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	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:線形代数]]		[[カテゴリ:線形代数]]

Wiki: /* 正則な行列 */

2024-10-31T18:43:35Z

正則な行列

@@ 5行目: / 5行目: @@
 == 正則な行列 ==
-正則行列とは、正方行列Aについて、<math>AB = BA = I \, \mbox{ ( 単 位 行 列 ) }</math> となる行列Bが存在する時、Aを正則行列という。<br>
+正則行列とは、正方行列Aについて、<math>AB = BA = I</math> (単位行列) となる行列Bが存在する時、Aを正則行列という。<br>
 <br>
 == 2×2行列の場合 ==

Wiki: /* 概要 */

2024-10-31T18:22:29Z

概要

← 古い版		2024年11月1日 (金) 03:22時点における版
3行目:		3行目:
	なお、公式の証明は線形代数の専門書を参照すること。<br>		なお、公式の証明は線形代数の専門書を参照すること。<br>
	<br><br>		<br><br>

			== 正則な行列 ==
			正則行列とは、正方行列Aについて、<math>AB = BA = I \, \mbox{ ( 単位行列 ) }</math> となる行列Bが存在する時、Aを正則行列という。<br>
			<br>

	== 2×2行列の場合 ==		== 2×2行列の場合 ==

Wiki: /* 逆行列の求め方 1 : 余因子を用いる */

2021-08-13T15:16:13Z

逆行列の求め方 1 : 余因子を用いる

← 古い版		2021年8月14日 (土) 00:16時点における版
23行目:		23行目:
	<br>		<br>
	次に、余因子を計算する。<br>		次に、余因子を計算する。<br>
	<math>\Delta_{11}=(-1)^{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-2</math><br>		<math>
	<math>\Delta_{21}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3</math><br>		\Delta_{11}=(-1)^{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \qquad \qquad
	<math>\Delta_{31}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1</math><br>		\Delta_{12}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \qquad \qquad
	~~Δ12からΔ33の6個も同様に計算できる。~~<br>		\Delta_{13}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4
			</math><br>
			<br>
			<math>
			\Delta_{21}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \qquad \qquad
			\Delta_{22}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad
			\Delta_{23}=(-1)^{5} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2
			</math><br>
			<math>
			\Delta_{31}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad
			\Delta_{32}=(-1)^{5} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \qquad
			\Delta_{33}=(-1)^{6} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 2
			</math><br>
			<br>
			Δ11からΔ33より、余因子行列Δは以下となる。<br>
			<math>\Delta = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -4 \\ -3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math><br>
			<br>
			余因子行列Δを転置する。<br>
			<math>\Delta^{T} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}</math><br>
	<br>		<br>
	したがって、逆行列A<sup>-1</sup>は次のようになる。<br>		したがって、逆行列A<sup>-1</sup>は次のようになる。<br>
	<math>A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br>		<math>A^{-1} = \frac{\Delta^{T}}{\det A} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 逆行列の求め方1 : 余因子を用いる */

2020-04-27T07:00:11Z

逆行列の求め方1 : 余因子を用いる

← 古い版		2020年4月27日 (月) 16:00時点における版
8行目:		8行目:
	<br><br>		<br><br>

	== ~~逆行列の求め方1~~ : 余因子を用いる ==		== 逆行列の求め方 1 : 余因子を用いる ==
	余因子を用いる方法では、行列式についての知識を前提とする。<br>		余因子を用いる方法では、行列式についての知識を前提とする。<br>
	Aの逆行列のij成分は、<math>\frac{\Delta_{ji}}{detA}</math>		Aの逆行列のij成分は、<math>\frac{\Delta_{ji}}{detA}</math>

Wiki: /* 2×2行列の場合 */

2020-04-27T06:51:00Z

2×2行列の場合

← 古い版		2020年4月27日 (月) 15:51時点における版
5行目:		5行目:

	== 2×2行列の場合 ==		== 2×2行列の場合 ==
	<math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>の逆行列は、<math>A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}</math><br>		<math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>の逆行列は、<math>A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}</math><br>
	<br><br>		<br><br>

2020年4月27日 (月) 06:49にWikiによる

2020-04-27T06:49:14Z

@@ 28行目: / 28行目: @@
 Δ12からΔ33の6個も同様に計算できる。<br>
 <br>
-したがって、逆行列は次のようになる。<br>
+したがって、逆行列A<sup>-1</sup>は次のようになる。<br>
-<math>A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}</math><br>
+<math>A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & - \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}</math><br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:線形代数]]

2020年4月27日 (月) 04:55にWikiによる

2020-04-27T04:55:57Z

← 古い版		2020年4月27日 (月) 13:55時点における版
16行目:		16行目:
	<br>		<br>
	'''例題'''<br>		'''例題'''<br>
	<math>A=</math>の逆行列を求めよ。		<math>A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}</math>の逆行列を求めよ。<br>
			<br>
	解答		'''解答'''<br>
	~~まず A の行列式を計算する。~~		まず、Aの行列式を計算する。<br>
	~~detA~~=(−1)(−2)~~⋅2−1⋅1⋅2−1⋅1⋅~~(−2)=4		<math>\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}=(-1) \times (-2) \times 2 - 1 \times 1 \times 2 - 1 \times 1 \times (-2) - 1 \times 1 \times (-2) = 4</math><br>
	~~余因子は~~		<br>
	~~Δ11~~=(~~−1)2det(0211~~)=−2		次に、余因子を計算する。<br>
	~~Δ21~~=(~~−1)3det(12−11~~)=−3		<math>\Delta_{11}=(-1)^{2} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-2</math><br>
	~~Δ31~~=(~~−1)4det(10−11~~)=1		<math>\Delta_{21}=(-1)^{3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=-3</math><br>
	~~残り6個も同様に計算できて，逆行列は~~		<math>\Delta_{31}=(-1)^{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=1</math><br>
			Δ12からΔ33の6個も同様に計算できる。<br>
			<br>
			したがって、逆行列は次のようになる。<br>
			<math>A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ 2 & 1 &1 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}</math><br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:線形代数]]		[[カテゴリ:線形代数]]

Wiki: /* 逆行列の求め方1 : 余因子を用いる */

2020-04-27T04:28:55Z

逆行列の求め方1 : 余因子を用いる

← 古い版		2020年4月27日 (月) 13:28時点における版
15行目:		15行目:
	また、Δijは、Aのi行目とj列目を除いた行列の行列式を、(−1)<sup>i+j</sup>倍したものである。(余因子)		また、Δijは、Aのi行目とj列目を除いた行列の行列式を、(−1)<sup>i+j</sup>倍したものである。(余因子)
	<br>		<br>
	~~例題（再掲）：A~~=~~⎛⎝⎜1−20102−111⎞⎠⎟~~ の逆行列を求めよ。		'''例題'''<br>
			<math>A=</math>の逆行列を求めよ。

	解答		解答
25行目:		26行目:
	Δ31=(−1)4det(10−11)=1		Δ31=(−1)4det(10−11)=1
	残り6個も同様に計算できて，逆行列は		残り6個も同様に計算できて，逆行列は
	~~A−1=14⎛⎝⎜−22−4−31−2112⎞⎠⎟~~
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:線形代数]]		[[カテゴリ:線形代数]]

Wiki: ページの作成:「== 概要 == ここでは、与えられた正方行列の逆行列を求める方法と具体的な計算例を記載する。
なお、公式の証明は線形代…」

2020-04-27T04:25:25Z

ページの作成:「== 概要 == ここでは、与えられた正方行列の逆行列を求める方法と具体的な計算例を記載する。 なお、公式の証明は線形代…」

新規ページ

== 概要 ==
ここでは、与えられた正方行列の逆行列を求める方法と具体的な計算例を記載する。 
なお、公式の証明は線形代数の専門書を参照すること。 
 

== 2×2行列の場合 ==
<math>A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math>の逆行列は、<math>A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}</math> 
 

== 逆行列の求め方1 : 余因子を用いる ==
余因子を用いる方法では、行列式についての知識を前提とする。 
Aの逆行列のij成分は、<math>\frac{\Delta_{ji}}{detA}</math>

ただし、detAはAの行列式である。
また、Δijは、Aのi行目とj列目を除いた行列の行列式を、(−1)i+j倍したものである。(余因子)
 
例題（再掲）：A=⎛⎝⎜1−20102−111⎞⎠⎟ の逆行列を求めよ。

解答
まず A の行列式を計算する。
detA=(−1)(−2)⋅2−1⋅1⋅2−1⋅1⋅(−2)=4
余因子は
Δ11=(−1)2det(0211)=−2
Δ21=(−1)3det(12−11)=−3
Δ31=(−1)4det(10−11)=1
残り6個も同様に計算できて，逆行列は
A−1=14⎛⎝⎜−22−4−31−2112⎞⎠⎟
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:線形代数]]

線形代数の基礎 - 逆行列 - 版の履歴

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2020年4月27日 (月) 06:49にWikiによる

2020年4月27日 (月) 04:55にWikiによる

Wiki: /* 逆行列の求め方1 : 余因子を用いる */

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なお、公式の証明は線形代…」