第7回 - ベイズの定理 - 版の履歴

Wiki: /* ベイズの定理の例 */

2021-08-08T17:13:23Z

ベイズの定理の例

← 古い版		2021年8月9日 (月) 02:13時点における版
90行目:		90行目:
	検査装置が"検出した"事象には、"本当にガン"場合と"ガンでない"場合の両方が含まれる。<br>		検査装置が"検出した"事象には、"本当にガン"場合と"ガンでない"場合の両方が含まれる。<br>
	そのため、"検出した"事象(下図の赤枠)を全体事象とみなす時、"本当に癌である"である確率を求める。<br>		そのため、"検出した"事象(下図の赤枠)を全体事象とみなす時、"本当に癌である"である確率を求める。<br>
			[[ファイル:Statistics 7 2.png\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	以下に、求める手順を示す。<br>		以下に、求める手順を示す。<br>

Wiki: /* ベイズの定理 */

2021-08-08T17:12:08Z

ベイズの定理

← 古い版		2021年8月9日 (月) 02:12時点における版
60行目:		60行目:
	\begin{align}		\begin{align}
	P(B_{i}\|A) &= \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}\\		P(B_{i}\|A) &= \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}\\
	&= \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A \cap B_{1}) + P(A \cap B_{2}) \cdots + P(A \cap B_{K})}		&= \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A \cap B_{1}) + P(A \cap B_{2}) \cdots + P(A \cap B_{K})} \\
			&= \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{\sum_{i=1}^K P(B_{i}) P(A\|B_{i})}
	\end{align}		\end{align}
	</math><br>		</math><br>

Wiki: /* ベイズの定理 */

2021-08-08T17:06:47Z

ベイズの定理

← 古い版		2021年8月9日 (月) 02:06時点における版
44行目:		44行目:
	<br>		<br>
	さらに、上式をまとめると次式となる。<br>		さらに、上式をまとめると次式となる。<br>
			<math>
			\begin{align}
			P(A\|B) \times P(B) &= P(B\|A) \times P(A) \mbox{ より }\\
			P(A\|B) &= \frac{P(B\|A) \times P(A)}{P(B)}
			\end{align}
			</math><br>
	<br>		<br>
	<math>P(A\|B) \~~times~~ P(B) = P(B\|A) \times P(A)</math><br>		あるいは下図に示すように、事象Aが起こるという条件のもとで、K種類の事象(これらは互いに排反とする)が起きる時、<br>
			事象Aが起きるという条件のもとで、事象B<sub>i</sub>が起きる条件付き確率は、次式から求められる。<br>
			<math>P(B_{i}\|A) = \frac{P(A \cap B_{i})}{P(A)} = \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}</math><br>
	<br>		<br>
	<math>P(A\|B) = \frac{P(B\|A) \times P(A)}{P(B)}</math><br>		また、<math>P(A) = P(A \cap B_{1}) + P(A \cap B_{2}) \cdots + P(A \cap B_{K})</math>である。<br>
			これは、上図のそれぞれの事象における赤い事象Aの部分を足し合わせたものだと考えることができる。<br>
			<math>
			\begin{align}
			P(B_{i}\|A) &= \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}\\
			&= \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A \cap B_{1}) + P(A \cap B_{2}) \cdots + P(A \cap B_{K})}
			\end{align}
			</math><br>
			[[ファイル:Statistics 7 1.png\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	~~あるいは下図に示すように、<br>~~		ベイズの定理とは、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P(A\|B)が分かっている場合において、<br>
	~~<math>P(B_{i}\|A) = \frac{P(A\|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}</math><br>~~
	~~<br>~~
	~~ベイズの定理は、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P~~(A\|B)が分かっている場合において、<br>
	逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B\|A)を与えるものである。<br>		逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B\|A)を与えるものである。<br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* ベイズの定理の例 */

2021-08-08T10:45:34Z

ベイズの定理の例

@@ 58行目: / 58行目: @@
 == ベイズの定理の例 ==
 あるガンの検査装置の性能が以下の通りとする。<br>
-* ガンである被験者を検査し ガンと検出した確率
+ここで、検出したを<math>A</math>、癌であるを<math>B</math>、癌ではないを<math>\bar B</math>とする。<br>
-*: P 検出した ガンである = 0.9
+* 癌である被験者を検査して、癌と検出した確率
-* ガンでない被験者を検査し ガンと検出した確率
+*: P(検出した | 癌である) = 0.9
-*: P 検出した ガンでない = 0.1
+*: <math>P(A | B) = 0.9</math>
-* ガンになる確率
+* 癌ではない被験者を検査して、癌と検出した確率
-*: P(ガンである) = 0.001
+*: P(検出した | 癌ではない) = 0.1
-* ガンにならない確率
+*: <math>P(A | \bar B) = 0.1</math>
-*: P(ガンでない) = 0.999
+* 癌である確率
 <br>
 この時、検査装置が検出した時に被験者が癌である確率P(ガンである|検出した)を求めよ。<br>
+<br>
+検査装置が"検出した"事象には、"本当にガン"場合と"ガンでない"場合の両方が含まれる。<br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:統計学]]

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2021-08-08T08:35:37Z

ベイズの定理

← 古い版		2021年8月8日 (日) 17:35時点における版
54行目:		54行目:
	ベイズの定理は、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P(A\|B)が分かっている場合において、<br>		ベイズの定理は、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P(A\|B)が分かっている場合において、<br>
	逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B\|A)を与えるものである。<br>		逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B\|A)を与えるものである。<br>
			<br><br>

			== ベイズの定理の例 ==
			あるガンの検査装置の性能が以下の通りとする。<br>
			* ガンである被験者を検査しガンと検出した確率
			*: P 検出したガンである = 0.9
			* ガンでない被験者を検査しガンと検出した確率
			*: P 検出したガンでない = 0.1
			* ガンになる確率
			*: P(ガンである) = 0.001
			* ガンにならない確率
			*: P(ガンでない) = 0.999
	<br>		<br>
			この時、検査装置が検出した時に被験者が癌である確率P(ガンである\|検出した)を求めよ。<br>



	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:統計学]]		[[カテゴリ:統計学]]

Wiki: ページの作成:「== 概要 == 推定統計を学習する準備として、確率の基礎に関する次の事項を記載する。
# 条件付き確率 # ベイズの定理

…」

2021-08-08T08:12:30Z

ページの作成:「== 概要 == 推定統計を学習する準備として、確率の基礎に関する次の事項を記載する。 # 条件付き確率 # ベイズの定理 …」

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== 概要 ==
推定統計を学習する準備として、確率の基礎に関する次の事項を記載する。 
# 条件付き確率
# ベイズの定理
 

== 条件付き確率 ==
条件付き確率とは、2個の事象AとBがあるとき、既に事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる確率を条件付き確率P(B|A)という。 
P(B|A) 
P(左 : 合わせて起きる事象 | 右 : 既に起きた事象) 
 
条件付き確率の式(事象Aが起きた場合に、事象Bも合わせて起きる条件付き確率)は、次式で表される。 
<math>P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{\frac{n(A \cap B)}{n(U)}}{\frac{n(A)}{n(U)}} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}</math> 
<math>P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)</math> 
 
条件付き確率P(B|A)と同時確率P(A∩B)の違い 
* 条件付き確率P(B|A)
*: 全事象をAのみとしている。
*: つまり、事象Aが起きた場合の中で、さらに事象Bも起きる確率P(B|A)を考える。
*: 
* 同時確率P(A∩B)
*: 全事象をUとしている。
*: つまり、事象Aが起きた場合のみに限定せず、A以外が起きる場合も合わせた上で事象AとBが同時に起きる確率を考える。
 

== ベイズの定理 ==
以下に、ベイズの定理の導出過程を示す。 
 
条件付き確率の計算式の2式 
<math>
\begin{cases}
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\end{cases}
</math> 
 
上式より、次式が求まる。 
<math>
\begin{cases}
P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) \\
P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)
\end{cases}
</math> 
 
さらに、上式をまとめると次式となる。 
 
<math>P(A|B) \times P(B) = P(B|A) \times P(A)</math> 
 
<math>P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}</math> 
 
あるいは下図に示すように、 
<math>P(B_{i}|A) = \frac{P(A|B_{i}) \times P(B_{i})}{P(A)}</math> 
 
ベイズの定理は、先に事象Bが起きた場合に、後の事象Aが起きる場合の確率P(A|B)が分かっている場合において、 
逆に後の事象Aが起きたと分かっている時に、先の事象Bが起きる場合の確率P(B|A)を与えるものである。 
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:統計学]]

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