極座標 - 版の履歴

Wiki: /* 球座標 */

2022-02-12T12:16:02Z

球座標

@@ 169行目: / 169行目: @@
 Z軸上の<math>(x, y) = (0, 0)</math>において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。<br>
 原点においては、θも定まらない。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 円座標 */

2020-12-09T06:51:55Z

円座標

@@ 34行目: / 34行目: @@
 原点(x,y) = (0,0)において、特異性があり、分母が0となるためθが定まらない。<br>
 <br>
 重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算してdxdyとdrdθの関係式を求める必要がある。<br>
 <math>
@@ 53行目: / 54行目: @@
 したがって、<math>dxdy = r dr d \theta</math>となる。<br>
 <br>
-<u>例. 以下の2重積分を求めよ。</u><br>
+==== 例1. 円の積分 ====
-<math>\iint\limits_D xy \, dxdy</math><br>
+<u>以下の2重積分を求めよ。</u><br>
-<math>D = \{ (x, y) | 1 \le x^{2} + y^{2} \le 4, x \ge 0, y \ge 0 \}</math><br>
+<math>\iint\limits_D xy \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) | 1 \le x^{2} + y^{2} \le 4, \ x \ge 0, \ y \ge 0 \}</math><br>
 このように円が含まれる場合は、極座標変換 <math>x = r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta}(r \ge 0, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。<br>
 積分範囲は、<math>1 \le r^{2} \le 4, \, r \cos{\theta} \ge 0, \, r \sin{\theta} \ge 0</math>となり、<math>r \ge 0</math>のため、<math>1 \le r \le 2, \, \cos{\theta} \ge 0, \, \sin{\theta} \ge 0</math>となる。<br>
@@ 70行目: / 72行目: @@
 =& \frac{15}{4} \times \frac{1}{2} \\
 =& \frac{15}{8}
 \end{align}
 </math><br>

Wiki: /* 円座標 */

2020-12-09T03:01:09Z

円座標

@@ 33行目: / 33行目: @@
 <br>
 原点(x,y) = (0,0)において、特異性があり、分母が0となるためθが定まらない。<br>
 <br><br>

Wiki: /* 円柱座標 */

2020-12-09T02:43:45Z

円柱座標

@@ 59行目: / 59行目: @@
 \end{cases}
 </math><br>
 <br><br>

2020年12月9日 (水) 02:21にWikiによる

2020-12-09T02:21:30Z

@@ 28行目: / 28行目: @@
 \begin{cases}
 r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
-\theta &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
+\theta &= \operatorname{sgn}(y) \cos^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
 \end{cases}
 </math><br>
@@ 55行目: / 55行目: @@
 \begin{cases}
 r      &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
-\theta &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
+\theta &= \operatorname{sgn}(y) \cos^{-1} \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
 z      &= z
 \end{cases}
 </math><br>
 <br><br>

Wiki: ページの作成:「== 概要 == 極座標とは、n次元ユークリッド空間Rn上で定義され、1個の動径rとn − 1個の偏角θ1, ..., θn−1からなる座標系のこと…」

2020-11-18T01:48:53Z

ページの作成:「== 概要 == 極座標とは、n次元ユークリッド空間Rn上で定義され、1個の動径rとn − 1個の偏角θ1, ..., θn−1からなる座標系のこと…」

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== 概要 ==
極座標とは、n次元ユークリッド空間Rn上で定義され、1個の動径rとn − 1個の偏角θ1, ..., θn−1からなる座標系のことである。 
点S(0, 0, x3, ..., xn)を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、 
点Sにおいては、ヤコビアンが0となってしまうため、一意的な極座標表現は不可能である。 
これは、点Sにおける偏角が定義できないことからも明らかである。 
 

== 円座標 ==
2次元ユークリッド空間R2における極座標は円座標と呼ばれ、1つの動径座標と一つの角度座標からなる最も単純な極座標である。 
rθ平面、極座標平面(または平面極座標)ともいう。 
 
特異点は(r, θ) = (0, θ)、すなわち、xy座標での原点(x, y) = (0, 0)である。 
2次元ベクトル空間にも定義できることから、複素数体C上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。 
その場合、オイラーの公式を利用してz = reiθと表す。 
円座標平面上で偏角を限定しない場合、xy平面上で円を描く。 
 
円座標(r, θ)から直交直線座標(x, y)への変換は次式で与えられる。 
<math>
\begin{cases}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta \\
\end{cases}
</math> 
 
角度座標の範囲を<math>-\pi < \theta \le \pi</math>とする場合、直交直線座標から円座標への変換は次式で与えられる。 
ここで、sgnは符号関数である。 
<math>
\begin{cases}
r &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
\theta &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
\end{cases}
</math> 
 
原点(x,y) = (0,0)において、特異性があり、分母が0となるためθが定まらない。 
 

== 円柱座標 ==
円座標で(0, 0)を除くXY平面上の全ての点を表現できることから、これにZ軸を加えれば、XYZ空間が表現できる。 
これを円柱座標という。 
 
円柱座標空間上(RθZ空間上)で、θとZを限定しない場合、XYZ空間上で円柱を描く。 
また、円柱座標空間上の特異点はZ軸上の全ての点である。 
 
円筒座標(r, θ, z) から直交直線座標(x, y, z)への変換は次式で与えられる。 
<math>
\begin{cases}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta \\
z &= z
\end{cases}
</math> 
 
直交直線座標から円筒座標への変換は、次式で与えられる。 
<math>
\begin{cases}
r &= \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
\theta &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right ) \\
z &= z
\end{cases}
</math> 
 

== 球座標 ==
3次元ユークリッド空間R3における極座標である。球面座標ともいう。 
1個の動径rと2個の偏角θ、φによって表現される。(下図を参照) 
[[ファイル:Analysis Polar Coordinates 1.jpg|フレームなし|中央]]
 
球座標において、動径を固定して、2個の偏角を動かせば、XYZ空間上で球を描く。 
 
球座標から直交直線座標への変換は、次式で与えられる。 
<math>
\begin{cases}
x &= r \sin \theta \cos \phi \\
y &= r \sin \theta \sin \phi \\
z &= r \cos \theta \\
\end{cases}
</math> 
 
直交直線座標から球座標への変換は、次式で与えられる。 
<math>
\begin{cases}
r &= \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \\
\theta &= \arccos \left ( \frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \right ) \\
\phi &= \operatorname{sgn}(y) \arccos \left ( \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \right )
\end{cases}
</math> 
 
Z軸上の<math>(x, y) = (0, 0)</math>において特異性があり、分母が0となるためφが定まらない。 
原点においては、θも定まらない。 
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]