数列 - 等差数列・等比数列・階差数列 - 版の履歴

Wiki: /* 漸化式と階差数列 */

2024-11-18T06:12:34Z

漸化式と階差数列

@@ 239行目: / 239行目: @@
 <br>
 このように，漸化式の問題も <math>a_n + 1 - a_n = f(n)</math> とすることにより、通常の階差数列と同様に解くことができる。<br>
 <br><br>

Wiki: /* 応用例 */

2024-11-18T05:27:22Z

応用例

@@ 143行目: / 143行目: @@
 <br>
 ==== 応用例 ====
-数列 2, 5, 10, 17, 26, 37 の一般項を求める場合、第2階差が定数列であるため、2次式で表されることがわかる。<br>
+数列2, 5, 10, 17, 26, 37の一般項を求める場合、第2階差が定数列であるため、2次式で表されることがわかる。<br>
 これは、<math>a_n = \alpha n^2 + \beta n + \gamma</math> の形で表される。<br>
 <br>
@@ 171行目: / 171行目: @@
   (1)の解答:
   数列a<sub>n</sub>の階差数列をb<sub>n</sub>とする時
-  <math>a_n : 5, 11, 21, 35, 53, \cdots</math>
+  <math>a_n : 5, 11, 21, 35, 53, \, \cdots</math>
-  <math>b_n : 6, 10, 14, 18, \cdots</math>
+  <math>b_n : 6, 10, 14, 18, \, \cdots</math>
   数列b<sub>n</sub>は、初項6、公差4の等差数列であるから、<math>b_n = 6 + 4(n - 1) = 4n + 2</math>
@@ 205行目: / 205行目: @@
   \end{align}
   </math>
 <br><br>

Wiki: /* 応用例 */

2024-11-18T05:02:02Z

応用例

@@ 163行目: / 163行目: @@
 階差数列の考え方を用いれば、複雑に見える数列でもその規則性を見つけやすくなる。<br>
 特に、多項式で表される数列の分析に効果的である。<br>
 <br><br>

Wiki: /* 等差数列の和 */

2024-11-17T17:43:47Z

等差数列の和

← 古い版		2024年11月18日 (月) 02:43時点における版
59行目:		59行目:
	ここで、<math>1 + 2 + \cdots + (n - 1) = \frac{n(n - 1)}{2}</math> であるので、		ここで、<math>1 + 2 + \cdots + (n - 1) = \frac{n(n - 1)}{2}</math> であるので、
	<math>S = na + \frac{1}{2}nd (n - 1) = \frac{1}{2} n \{ 2a + (n - 1)d \}</math> となる。		<math>S = na + \frac{1}{2}nd (n - 1) = \frac{1}{2} n \{ 2a + (n - 1)d \}</math> となる。

			つまり，等差数列の和は、自然数の和を1次変換したものである。
	<br>		<br>
	例題:		例題:

Wiki: /* 等差数列の和 */

2024-11-17T17:42:55Z

等差数列の和

← 古い版		2024年11月18日 (月) 02:42時点における版
52行目:		52行目:
	<br>		<br>
	ゆえに、<math>\frac{1}{2} n \, \{2 a_1 + (n - 1)d \}</math> となる。<br>		ゆえに、<math>\frac{1}{2} n \, \{2 a_1 + (n - 1)d \}</math> となる。<br>
			<br>
			導出: 等差数列の和
			<math>S = a + (a + d) + (a + 2d) + \cdots + {a + (n - 1)d}</math> において、aの部分とdの部分に分ける。
			<math>S = na + d{1 + 2 + \cdots + (n - 1)}</math>

			ここで、<math>1 + 2 + \cdots + (n - 1) = \frac{n(n - 1)}{2}</math> であるので、
			<math>S = na + \frac{1}{2}nd (n - 1) = \frac{1}{2} n \{ 2a + (n - 1)d \}</math> となる。
	<br>		<br>
	例題:		例題:

Wiki: /* 実生活での例 */

2024-11-17T17:24:21Z

実生活での例

← 古い版		2024年11月18日 (月) 02:24時点における版
106行目:		106行目:
	<br>		<br>
	等比数列は、指数関数的な成長や減衰を示す現象を扱う場合や金融や自然科学の分野でも頻繁に使用される。<br>		等比数列は、指数関数的な成長や減衰を示す現象を扱う場合や金融や自然科学の分野でも頻繁に使用される。<br>
			また、デジタル信号処理において、Z変換を使用して伝達関数を求める場合にも使用される。<br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 等差数列の和 */

2024-11-17T17:21:49Z

等差数列の和

@@ 53行目: / 53行目: @@
 ゆえに、<math>\frac{1}{2} n \, \{2 a_1 + (n - 1)d \}</math> となる。<br>
 <br>
 ==== 特徴 ====
 等差数列の中項は両端の項の平均値になる。<br>

Wiki: /* 等差数列 */

2024-11-16T23:46:30Z

等差数列

@@ 40行目: / 40行目: @@
   <math>S_n = \frac{1}{2} n \, \{2 a_1 + (n - 1)d \}</math>
 <br>
 ==== 特徴 ====

Wiki: /* 等差数列 */

2024-11-16T23:32:45Z

等差数列

← 古い版		2024年11月17日 (日) 08:32時点における版
16行目:		16行目:
	==== 基本 ====		==== 基本 ====
	等差数列とは、隣り合う項の差が常に一定である数列のことである。<br>		等差数列とは、隣り合う項の差が常に一定である数列のことである。<br>
			例:
			3, 7, 11, 15, 19, 23, ...
			<br>
	隣接する2項の差を<u>公差</u>と呼ぶ。(dで表すことが多い)<br>		隣接する2項の差を<u>公差</u>と呼ぶ。(dで表すことが多い)<br>
	<br>		<br>
21行目:		24行目:
	<math>a_n = a_1 + (n - 1)d</math>		<math>a_n = a_1 + (n - 1)d</math>
	<br>		<br>
	例:		# n項目の計算例:
	3~~, 7, 11, 15, 19, 23, ...~~
			上記の例では
			初項 : 3
			公差 : 4
			であるため、

			<math>a_n = 3 + 4(n - 1) = 4n -1</math> となる。
	<br>		<br>
	==== 等差数列の和 ====		==== 等差数列の和 ====

Wiki: /* 等差数列 */

2024-11-16T21:34:23Z

等差数列

@@ 39行目: / 39行目: @@
 * 等間隔に並んだ数値
 * 等間隔の時間経過
 <br><br>

Wiki: /* 階差数列 */

2024-11-16T21:17:19Z

階差数列

@@ 11行目: / 11行目: @@
 <br>
 これらの数列は、特に、予測・分析やデジタル信号処理等で活用されることが多い。<br>
 <br><br>

Wiki: /* 応用例 */

2024-11-16T21:05:02Z

応用例

← 古い版		2024年11月17日 (日) 06:05時点における版
48行目:		48行目:
	&= 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {2n + 1)} \\		&= 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {2n + 1)} \\
	&= 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} {n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} {1} \\		&= 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} {n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} {1} \\
	&= 2 + 2 \cdot \frac{n (n + 1)}{2} + (n - 1) \\		&= 2 + 2 \cdot \frac{n (n - 1)}{2} + (n - 1) \\
	&= 2 + n(n - 1) + n - 1 \\		&= 2 + n(n - 1) + n - 1 \\
	&= n^2 + 1		&= n^2 + 1

Wiki: /* 概要 */

2024-11-16T20:52:17Z

概要

@@ 1行目: / 1行目: @@
 == 概要 ==
+等差数列は、隣り合う項の差が常に一定の数列である。<br>
 <br><br>

Wiki: ページの作成:「== 概要 ==

== 階差数列 == ==== 基本 ==== 元の数列の隣り合う項の差を順番に並べたものを第1階差数列と呼ぶ。
$a_n = a_{n + 1} - a_n$ と表す。

第1階差数列から、さらに階差を取ったものを第2階差数列と呼ぶ。
これを繰り返すことで第3、第4...階差数列が得られる。

例: 原数列: 2, 5, 10, 17, 26, 37 第1階差: 3, 5, 7, 9, 11…」

2024-11-16T20:48:22Z

ページの作成:「== 概要 == == 階差数列 == ==== 基本 ==== 元の数列の隣り合う項の差を順番に並べたものを第1階差数列と呼ぶ。 <math>a_n = a_{n + 1} - a_n</math> と表す。 第1階差数列から、さらに階差を取ったものを第2階差数列と呼ぶ。 これを繰り返すことで第3、第4...階差数列が得られる。 例: 原数列: 2, 5, 10, 17, 26, 37 第1階差: 3, 5, 7, 9, 11…」

新規ページ

== 概要 ==

 

== 階差数列 ==
==== 基本 ====
元の数列の隣り合う項の差を順番に並べたものを第1階差数列と呼ぶ。 
<math>a_n = a_{n + 1} - a_n</math> と表す。 
 
第1階差数列から、さらに階差を取ったものを第2階差数列と呼ぶ。 
これを繰り返すことで第3、第4...階差数列が得られる。 
 
例:

原数列: 2, 5, 10, 17, 26, 37
第1階差: 3, 5, 7, 9, 11
第2階差: 2, 2, 2, 2
 
==== 性質 ====
等差数列の第1階差数列は、定数列になる。 
等比数列の第1階差数列は、元の数列の定数倍になる。 
n次式で表される数列の第n階差数列は、定数列になる。 
 
==== 活用方法 ====
* 数列のパターンを見つける場合
* 与えられた数列が何次式で表されるかを判断できる。
* 数列の一般項を求める場合のヒントになる。
 
==== 応用例 ====
数列 2, 5, 10, 17, 26, 37 の一般項を求める場合、第2階差が定数列であるため、2次式で表されることがわかる。 
これは、<math>a_n = \alpha n^2 + \beta n + \gamma</math> の形で表される。 
 
計算により、 
<math>b_n = 3 + 2(n -1) = 2n + 1</math> 
<math>
\begin{alignat}{2}
a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {b_k} \\
&= 2 + \sum_{k = 1}^{n - 1} {2n + 1)} \\
&= 2 + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} {n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} {1} \\
&= 2 + 2 \cdot \frac{n (n + 1)}{2} + (n - 1) \\
&= 2 + n(n - 1) + n - 1 \\
&= n^2 + 1
\end{alignat}
</math> 
 
したがって、<math>a_n = n^2 + 1</math> と求められる。 
 
階差数列の考え方を用いれば、複雑に見える数列でもその規則性を見つけやすくなる。 
特に、多項式で表される数列の分析に効果的である。 
 

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|title={{PAGENAME}} : Exploring Electronics and SUSE Linux | MochiuWiki
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[[カテゴリ:解析学]]