応用数学 - 1階常微分方程式 - 版の履歴

Wiki: /* 1階線形微分方程式の例題 */

2024-01-25T17:28:20Z

1階線形微分方程式の例題

← 古い版		2024年1月26日 (金) 02:28時点における版
321行目:		321行目:
	<math>f(x) = 3x^2, \quad g(x) = 5x^2</math> として、1階線形微分方程式の一般解の公式に代入する。		<math>f(x) = 3x^2, \quad g(x) = 5x^2</math> として、1階線形微分方程式の一般解の公式に代入する。

	この時、<math>z = 3x^2, \quad w = x^3</math> ~~とする。~~		この時、<math>z = 3x^2, \quad w = x^3</math> と変数変換する。
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}

Wiki: /* 1階線形微分方程式の例題 */

2024-01-25T17:26:56Z

1階線形微分方程式の例題

← 古い版		2024年1月26日 (金) 02:26時点における版
335行目:		335行目:
	&= \frac{5}{3} e^w \frac{d}{dx} x^3 \\		&= \frac{5}{3} e^w \frac{d}{dx} x^3 \\
	&= \frac{5}{3} e^w 3x^2 \\		&= \frac{5}{3} e^w 3x^2 \\
	&= 5x^2 e^w		&= 5x^2 e^w \qquad \cdots \, \, (1)
	\end{align}		\end{align}
	</math>		</math>

			(1)式の両辺を積分すると、<math>\int{\frac{d}{dx} \left ( \frac{5}{3} e^w \right ) \, dx} = \int{5x^2 e^w \, dx} \quad \implies \quad \frac{5}{3} e^w = \int{5x^2 e^w \, dx}</math> となる。

	よって、 <math>\int{5x^2 e^w dx} = \frac{5}{3} e^w</math> が成立する。		よって、 <math>\int{5x^2 e^w dx} = \frac{5}{3} e^w</math> が成立する。

Wiki: Wiki がページ「常微分方程式 - 1階常微分方程式」を「応用数学 - 1階常微分方程式」に、リダイレクトを残さずに移動しました

2023-09-01T20:26:15Z

Wiki がページ「常微分方程式 - 1階常微分方程式」を「応用数学 - 1階常微分方程式」に、リダイレクトを残さずに移動しました

← 古い版		2023年9月2日 (土) 05:26時点における版
(相違点なし)

Wiki: /* 完全微分方程式の例題 */

2022-11-15T21:47:04Z

完全微分方程式の例題

@@ 527行目: / 527行目: @@
   ゆえに、一般解は次式となる。
   <math>x^2 + xy^2 + y^3 = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* ベルヌーイ形微分方程式の例題 */

2022-11-15T13:31:57Z

ベルヌーイ形微分方程式の例題

@@ 422行目: / 422行目: @@
   ゆえに、<math>y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
   <math>y = 0</math> となる解は、<math>C = + \infty</math> の場合に対応する。
 <br><br>

Wiki: /* 1階線形微分方程式の例題 */

2022-11-15T12:14:47Z

1階線形微分方程式の例題

@@ 344行目: / 344行目: @@
   一般解は次式となる。
   <math>y = Ce^{-x^3} + \frac{5}{3} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )} \quad \because w = x^3</math>
 <br><br>

Wiki: /* 1階線形微分方程式の例題 */

2022-11-14T20:03:46Z

1階線形微分方程式の例題

@@ 313行目: / 313行目: @@
   ゆえに、一般解は次式となる。
   <math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
 <br><br>

Wiki: /* 同次形微分方程式 */

2022-11-14T19:34:56Z

同次形微分方程式

@@ 129行目: / 129行目: @@
 == 同次形微分方程式 ==
 <math>\frac{dy}{dx}</math> が <math>\frac{y}{x}</math> のみの関数になっている微分方程式を、同次形微分方程式という。<br>
 <math>\frac{dy}{dx} = f \left ( \frac{y}{x} \right )</math><br>
@@ 147行目: / 148行目: @@
 * <math>\frac{dy}{dx} = \frac{(x + y)}{(x - y)} \quad \Rightarrow</math> 分母分子をxで除算すると、<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}</math> と記述できるため、同次形微分方程式である。
 <br>
-  例題.
+==== 同次形微分方程式の例題 ====
   微分方程式の一般解を求めよ。
   <math>\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1</math>
@@ 172行目: / 174行目: @@
   したがって、一般解は、
   <math>y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}</math>
 <br><br>

Wiki: /* 完全微分方程式 */

2022-11-14T18:13:58Z

完全微分方程式

@@ 339行目: / 339行目: @@
 完全微分方程式は、<math>dP = 0</math> と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。<br>
 <math>P(x, y) = C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math><br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* ベルヌーイ形微分方程式の例題 */

2022-11-14T17:25:50Z

ベルヌーイ形微分方程式の例題

← 古い版		2022年11月15日 (火) 02:25時点における版
327行目:		327行目:
	ゆえに、<math>y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任意の定数 )}</math>		ゆえに、<math>y^3 = \frac{1}{1 + C e^{3x^2}} \qquad \mbox{( C : 任意の定数 )}</math>
	<math>y = 0</math> となる解は、<math>C = + \infty</math> の場合に対応する。		<math>y = 0</math> となる解は、<math>C = + \infty</math> の場合に対応する。
			<br><br>

			== 完全微分方程式 ==
			==== 完全微分方程式とは ====
			x, yを変数とする以下の微分方程式を考える。<br>
			<math>f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0 \cdots (1)</math>
			<br>
			この時、上式(1)の左辺が、ある関数 <math>P(x, y)</math> の微分 <math>dP = \frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial y} dy</math> になる時、<br>
			上式(1)を完全微分方程式という。<br>
			<br>
			完全微分方程式は、<math>dP = 0</math> と記述できるため、完全微分方程式の一般解は、次式のようになる。<br>
			<math>P(x, y) = C \qquad \mbox{( C : 任意の定数 )}</math><br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 1階線形微分方程式の例題 */

2022-11-14T17:18:48Z

1階線形微分方程式の例題

@@ 271行目: / 271行目: @@
   ゆえに、一般解は次式となる。
   <math>y = x + \frac{C}{x} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 1階線形微分方程式の例題 */

2022-11-14T15:14:10Z

1階線形微分方程式の例題

← 古い版		2022年11月15日 (火) 00:14時点における版
262行目:		262行目:
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
	y &= \frac{1}{\plusmn x} \left \{ \int{2 \plusmn x dx + C} \right \} \\		y &= \frac{1}{\plusmn x} \left \{ \int{2 (\plusmn) x dx + C} \right \} \\
	&= \frac{1}{x} \left \{ \int{2x dx + C} \right \} \\		&= \frac{1}{x} \left \{ \int{2x dx + C} \right \} \\
	&= \frac{1}{x} (x^2 + C) \\		&= \frac{1}{x} (x^2 + C) \\

Wiki: /* 1階線形微分方程式の一般解の証明 */

2022-11-14T15:11:42Z

1階線形微分方程式の一般解の証明

@@ 244行目: / 244行目: @@
 <math>y = \frac{1}{h(x)} \left \{ \int{g(x) h(x) dx + C} \right \} \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}</math><br>
 QED.<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 同次形微分方程式 */

2022-11-14T14:54:38Z

同次形微分方程式

@@ 172行目: / 172行目: @@
   したがって、一般解は、
   <math>y = x(\ln(|x|) + C) \qquad \mbox{( C : 任 意 定 数 )}</math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 変数分離形微分方程式 */

2022-11-14T06:03:20Z

変数分離形微分方程式

@@ 126行目: / 126行目: @@
   \end{align}
   </math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 変数分離形微分方程式 */

2022-11-14T04:53:20Z

変数分離形微分方程式

@@ 7行目: / 7行目: @@
 * ベルヌーイ形微分方程式
 * 完全微分方程式
 <br><br>
@@ 38行目: / 82行目: @@
   \end{align}
   </math>
+<br>
   例題2.
   微分方程式の一般解を求めよ。
@@ 54行目: / 98行目: @@
   \end{align}
   </math>
+<br>
   例題3.
   微分方程式の一般解を求めよ。
@@ 66行目: / 110行目: @@
   y^2 &= x^2 + 2C \\
   y^2 &= x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任 意 の 定 数 )}
   \end{align}
   </math>

Wiki: ページの作成:「== 概要 == 1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。
これらは方程式の形により分類される。
* 変数分離形微分方程式 * 同次形微分方程式 * 1階線形微分方程式 * ベルヌーイ形微分方程式 * 完全微分方程式

== 変数分離形微分方程式 == f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形…」

2022-11-14T03:41:03Z

ページの作成:「== 概要 == 1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。 これらは方程式の形により分類される。 * 変数分離形微分方程式 * 同次形微分方程式 * 1階線形微分方程式 * ベルヌーイ形微分方程式 * 完全微分方程式 == 変数分離形微分方程式 == f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形…」

新規ページ

== 概要 ==
1階常微分方程式としては、以下のようなものがある。 
これらは方程式の形により分類される。 
* 変数分離形微分方程式
* 同次形微分方程式
* 1階線形微分方程式
* ベルヌーイ形微分方程式
* 完全微分方程式
 

== 変数分離形微分方程式 ==
f(x)をxのみの関数、g(y)をyのみの関数とする時、以下に示す形になる微分方程式を変数分離形という。 
<math>g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)</math> 
 
変数分離系の方程式は、以下のように記述することもある。 
* <math>g(y)dy = f(x)dx</math>
* <math>f(x)dx - g(y)dy = 0</math>
* <math>\frac{dy}{dx} = f(x)h(y) \quad \because h(y) = \frac{1}{g(y)}</math>
 
* 変数分離形の例
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2xy</math>
*: <math>\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1) \left (y + \frac{1}{y} \right )</math>
*: 
* 変数分離形ではない例
*: <math>\frac{dy}{dx} = 2x + 3y</math>
*: <math>\frac{dy}{dx} = x - y</math>
 
例題1.
微分方程式の一般解を求めよ。
<math>\frac{dy}{dx} = x</math>

解答.
<math>
\begin{align}
dy &= x dx \\
\int{dy} &= \int{x dx} \\
y &= \frac{1}{2} x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任意の定数 )}
\end{align}
</math>

例題2.
微分方程式の一般解を求めよ。
<math>\frac{dy}{dx} = y</math>

解答.
<math>
\begin{align}
\frac{1}{y} dy &= dx \\
\int{\frac{1}{y} dy} &= \int{dx} \\
\ln{|y|} &= x + C \qquad \mbox{( C : 任意の定数 )} \\
|y| &= e^{x + C} \\
y &= \plusmn e^C e^x \\
y &= C e^x \qquad \mbox{( C : 任意の定数 )}
\end{align}
</math>

例題3.
微分方程式の一般解を求めよ。
<math>y dy = x dx</math>

解答.
<math>
\begin{align}
\int{y dy} &= \int{x dx} \\
\frac{1}{2} y^2 &= \frac{1}{2} x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任意の定数 )} \\
y^2 &= x^2 + 2C \\
y^2 &= x^2 + C \qquad \mbox{( C : 任意の定数 )}
\end{align}
</math>
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]