応用数学 - 広義積分と無限積分 - 版の履歴

Wiki: /* 概要 */

2023-09-04T00:40:46Z

概要

← 古い版		2023年9月4日 (月) 09:40時点における版
1行目:		1行目:
	== 概要 ==		== 概要 ==
	~~広義積分および無限積分について理解する。~~<br>		広義積分とは、積分区間の端点で <math>f(x)</math> が不連続の場合にまで拡張された定積分のことである。<br>
			広義積分が収束する時、広義積分可能である。<br>
			<br>
			<math>f(x)</math> が積分区間内で不連続な場合、積分区間を分割して計算する。<br>
			<br>
			無限積分とは、積分区間を無限の区間に拡張した定積分のことである。<br>
			区分的に連続な関数に対して定義される。<br>
			無限積分が収束するとき、無限積分可能である。<br>
			<br>
			無限積分に関する収束条件がある。<br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 絶対可積分な関数 */

2023-09-04T00:38:54Z

絶対可積分な関数

@@ 211行目: / 211行目: @@
   <math>f(x)</math> が絶対可積分ならば、以下が成立する。 (逆は成立するとは限らない)
   <math>\lim_{x \to \pm \infty} {f(x)} = 0</math>
 <br><br>

Wiki: /* 無限積分の定義 */

2023-09-03T09:40:27Z

無限積分の定義

@@ 195行目: / 195行目: @@
   <math>- \infty</math> から <math>+ \infty</math> で定義された区分的に連続な関数 <math>f(x)</math> に対して、無限区間の定積分を以下で定義する。
   <math>\int_{- \infty}^{+ \infty} {f(x) \, dx} = \lim_{\begin{matrix} \alpha \to - \infty \\ \beta \to + \infty \end{matrix}} {f(x) \, dx}</math>
 <br><br>

Wiki: /* 広義積分の例題 */

2023-09-03T08:46:02Z

広義積分の例題

@@ 168行目: / 168行目: @@
   </math>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 広義積分の定義 */

2023-09-03T08:08:41Z

広義積分の定義

← 古い版		2023年9月3日 (日) 17:08時点における版
105行目:		105行目:
	その結果を <math>\alpha \longrightarrow a + 0</math> として右側極限を考えたのが上の定義式である。		その結果を <math>\alpha \longrightarrow a + 0</math> として右側極限を考えたのが上の定義式である。
	関数により、収束する場合もあり、収束しない場合もある。		関数により、収束する場合もあり、収束しない場合もある。
			<br>
			[[ファイル:Improper Integral 3.png\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	定義2:		定義2:
118行目:		120行目:
	<math>\int_{b}^{a} {f(x)} \, dx = \lim_{\begin{matrix} \alpha \to a + 0 \\ \beta \to b - 0 \end{matrix}} {\int_{\alpha}^{\beta} {f(x)} \, dx}</math>		<math>\int_{b}^{a} {f(x)} \, dx = \lim_{\begin{matrix} \alpha \to a + 0 \\ \beta \to b - 0 \end{matrix}} {\int_{\alpha}^{\beta} {f(x)} \, dx}</math>
	<br>		<br>

	==== 積分区間の分割 ====		==== 積分区間の分割 ====
	<math>f(x)</math> が <math>a \le x < c, \, c < x \le b</math> において連続で、 <math>x = c</math> で不連続な場合、以下のように積分区間を分割して考えればよい。<br>		<math>f(x)</math> が <math>a \le x < c, \, c < x \le b</math> において連続で、 <math>x = c</math> で不連続な場合、以下のように積分区間を分割して考えればよい。<br>

Wiki: /* 積分区間の分割 */

2023-09-03T08:07:35Z

積分区間の分割

@@ 133行目: / 133行目: @@
 一方、それら右側積分や左側積分の値が <math>+ \infty</math> や <math>- \infty</math> に発散したり、振動したりする場合には、広義積分の収束・発散を調べる必要がある。<br>
 <br>
-下図に、積分区間の分割の概要を示す。<br>
+下図に、積分区間の分割の概要を示す。(この図は、上図の区分的に連続な関数の再掲である)<br>
+<center><math>\int_{a}^{b} {f(x) \, dx} = \int_{a}^{c{1}} {f(x) \, dx} + \int_{c_{1}}^{c_{2}} {f(x) \, dx} + \int_{c_{2}}^{c{3}} {f(x) \, dx} + \int_{c_{3}}^{b} {f(x) \, dx}</math></center><br>
-図. <math>a \le x \le b</math> において区分的に連続な関数 <math>f(x)</math><br>
+[[ファイル:Improper Integral 2.png|フレームなし|中央]]
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 区分的に連続な関数 */

2023-09-03T07:44:12Z

区分的に連続な関数

@@ 78行目: / 78行目: @@
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 概要 */

2023-09-03T06:51:18Z

概要

← 古い版		2023年9月3日 (日) 15:51時点における版
1行目:		1行目:
	== 概要 ==		== 概要 ==
			広義積分および無限積分について理解する。<br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 極限の例題 */

2023-09-03T06:49:32Z

極限の例題

@@ 19行目: / 19行目: @@
   (4) <math>\lim_{x \to + \infty}{f(x)}</math>
   (5) <math>\lim_{x \to - \infty}{f(x)}</math>
   解答:
@@ 37行目: / 39行目: @@
   (4)
   xを限りなく大きくしたときの極限なので、
-  <math>\lim_{x \to + \infty}{f(x)} = 0 \qquad \mbox{ 収 束 }</math>
+  <math>\lim_{x \to + \infty}{f(x)} = 0 \qquad ( \mbox{ 収 束 } )</math>
   (5)
   xを限りなく小さくしたときの極限なので、
-  <math>\lim_{x \to - \infty}{f(x)} = - \infty \qquad \mbox{ 発 散 }</math>
+  <math>\lim_{x \to - \infty}{f(x)} = - \infty \qquad ( \mbox{ 発 散 } )</math>
 <br><br>

Wiki: ページの作成:「== 概要 ==

== 極限の例題 == 例題: $f(x) = \begin{cases} x & \qquad (x < 1) \\ 0 & \qquad (x \ge 1) \end{cases}$ について、以下の極限を求めよ。 (1) $\lim_{x \to 1 + 0}{f(x)}$ (2) $\lim_{x \to 1 - 0}{f(x)}$ (3) $\lim_{x \to 1}{f(x)}$ (4) $\lim_{x \to + \infty}{f(x)}$ (5) $\lim_{x \to - \infty}{f(x)}$ 解答: (1) xを正の方向から1に近づ…」

2023-09-03T01:55:10Z

ページの作成:「== 概要 == == 極限の例題 == 例題: <math> f(x) = \begin{cases} x & \qquad (x < 1) \\ 0 & \qquad (x \ge 1) \end{cases} </math> について、以下の極限を求めよ。 (1) <math>\lim_{x \to 1 + 0}{f(x)}</math> (2) <math>\lim_{x \to 1 - 0}{f(x)}</math> (3) <math>\lim_{x \to 1}{f(x)}</math> (4) <math>\lim_{x \to + \infty}{f(x)}</math> (5) <math>\lim_{x \to - \infty}{f(x)}</math> 解答: (1) xを正の方向から1に近づ…」

新規ページ

== 概要 ==

 

== 極限の例題 ==
例題:
<math>
f(x) =
\begin{cases}
x & \qquad (x < 1) \\
0 & \qquad (x \ge 1)
\end{cases}
</math>
について、以下の極限を求めよ。

(1) <math>\lim_{x \to 1 + 0}{f(x)}</math>
(2) <math>\lim_{x \to 1 - 0}{f(x)}</math>
(3) <math>\lim_{x \to 1}{f(x)}</math>
(4) <math>\lim_{x \to + \infty}{f(x)}</math>
(5) <math>\lim_{x \to - \infty}{f(x)}</math>

解答:
(1)
xを正の方向から1に近づけた極限なので、
<math>\lim_{x \to 1 + 0}{f(x)} = 0</math>

(2)
xを負の方向から1に近づけた極限なので、
<math>\lim_{x \to 1 - 0}{f(x)} = 1</math>

(3)
xを正と負の両方から近づけた極限である。
しかし、(1)(2)より、右側極限と左側極限は一致しない。
そのため、一定の値には収束しないので、
<math>\lim_{x \to 1}{f(x)}</math> は値なし。

(4)
xを限りなく大きくしたときの極限なので、
<math>\lim_{x \to + \infty}{f(x)} = 0 \qquad \mbox{ 収束 }</math>

(5)
xを限りなく小さくしたときの極限なので、
<math>\lim_{x \to - \infty}{f(x)} = - \infty \qquad \mbox{ 発散 }</math>
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]