応用数学 - ラプラス変換 - 版の履歴

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2026-06-03T07:09:21Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2026年6月3日 (水) 16:09時点における版
118行目:		118行目:
	\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>		\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ ~~実定数~~ }</math>		\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{実定数}</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ ~~実定数~~ }</math>		\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{実定数}</math>
	\|-		\|-
	\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>		\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>

Wiki: /* 第2移動法則 */

2026-06-03T07:06:20Z

第2移動法則

← 古い版		2026年6月3日 (水) 16:06時点における版
269行目:		269行目:
	\begin{align}		\begin{align}
	\mathcal{L}[U(t - 2)(t - 2)^2] &= e^{-2s} \mathcal{L}[t^{2}] \\		\mathcal{L}[U(t - 2)(t - 2)^2] &= e^{-2s} \mathcal{L}[t^{2}] \\
	&= e^{-2s} \, \frac{2!}{s^{2 + 1}} \qquad ( \mbox{ ~~第 2 移動法則~~ } )\\		&= e^{-2s} \, \frac{2!}{s^{2 + 1}} \qquad ( \mbox{第2移動法則} )\\
	&= \frac{2}{s^{3}} e^{-2s} \qquad (s > 0) \qquad ( \mbox{ ~~変換公式~~ } )		&= \frac{2}{s^{3}} e^{-2s} \qquad (s > 0) \qquad ( \mbox{変換公式} )
	\end{align}		\end{align}
	</math>		</math>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2026-06-03T06:01:04Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2026年6月3日 (水) 15:01時点における版
101行目:		101行目:
	<br>		<br>
	<center>		<center>
	{\| class="wikitable" \| style="~~background-color:#fefefe;~~text-align: center;"		{\| class="wikitable" \| style="text-align: center;"
	\|+ 基本的な変換表		\|+ 基本的な変換表
	\|-		\|-
	! style="~~background-color:#66CCFF;~~width:30%" \| <math>f(t)</math>		! style="width:30%" \| <math>f(t)</math>
	! style="~~background-color:#66CCFF;~~width:30%" \| <math>F(s)</math>		! style="width:30%" \| <math>F(s)</math>
	! style="~~background-color:#66CCFF;~~width:40%" \| 条件		! style="width:40%" \| 条件
	\|-		\|-
	\| <math>1</math> \|\| <math>\frac{1}{s}</math> \|\| <math>s > 0</math>		\| <math>1</math> \|\| <math>\frac{1}{s}</math> \|\| <math>s > 0</math>
129行目:		129行目:
	<br>		<br>
	<center>		<center>
	{\| class="wikitable" \| style="~~background-color:#fefefe;~~text-align: center;"		{\| class="wikitable" \| style="text-align: center;"
	\|+ 法則		\|+ 法則
	\|-		\|-
	! style="~~background-color:#66CCFF;~~width:30%" \| <math>f(t)</math>		! style="width:30%" \| <math>f(t)</math>
	! style="~~background-color:#66CCFF;~~width:30%" \| <math>F(s)</math>		! style="width:30%" \| <math>F(s)</math>
	! style="~~background-color:#66CCFF;~~width:40%" \| 条件		! style="width:40%" \| 条件
	\|-		\|-
	\| 線形法則<br><math>\sinh{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>		\| 線形法則<br><math>\sinh{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>

Wiki: /* ラプラス変換公式を使用した例題 */

2026-06-02T13:06:35Z

ラプラス変換公式を使用した例題

← 古い版		2026年6月2日 (火) 22:06時点における版
167行目:		167行目:
	*: <math>\mathcal{L}[t^2] = \frac{2!}{s^{(2 + 1)}} = \frac{2}{s^3} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[t^2] = \frac{2!}{s^{(2 + 1)}} = \frac{2}{s^3} \quad (s > 0)</math>
	* (2)の解答		* (2)の解答
	*: <math>\mathcal{L}[\sqrt{t}] = \mathcal{L} \left[ t^{\frac{1}{2}} \right] = \frac{\Gamma(\frac{1}{2} + 1)}{s^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s \sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[\sqrt{t}] = \mathcal{L} \left[ t^{\frac{1}{2}} \right] = \frac{\Gamma \left(\frac{1}{2} + 1 \right)}{s^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma \left( \frac{1}{2} \right)}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s \sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>
	*: 参考: <math>\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}, \quad \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \quad (\alpha > 0)</math>		*: 参考: <math>\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}, \quad \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \quad (\alpha > 0)</math>
	* (3)の解答		* (3)の解答

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2026-06-02T12:38:50Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2026年6月2日 (火) 21:38時点における版
102行目:		102行目:
	<center>		<center>
	{\| class="wikitable" \| style="background-color:#fefefe;text-align: center;"		{\| class="wikitable" \| style="background-color:#fefefe;text-align: center;"
			\|+ 基本的な変換表
	\|-		\|-
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>f(t)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>f(t)</math>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2026-06-02T12:36:06Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2026年6月2日 (火) 21:36時点における版
141行目:		141行目:
	\| 相似法則<br><math>f(at)</math> \|\| <math>\frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>s > \alpha a</math>		\| 相似法則<br><math>f(at)</math> \|\| <math>\frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>s > \alpha a</math>
	\|-		\|-
	\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \sin(at)</math> \|\| <math>\frac{a}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>		\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>
	\|-		\|-
	\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \cos(at)</math> \|\| <math>\frac{s - \lambda}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>		\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s - \lambda}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>
	\|-		\|-
	\| 第2移動法則<br><math>U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)</math> \|\| <math>e^{- \lambda s} \, F(s)</math> \|\| <math>s > a</math>		\| 第2移動法則<br><math>U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)</math> \|\| <math>e^{- \lambda s} \, F(s)</math> \|\| <math>s > a</math>

Wiki: /* ラプラス変換の定義に関する例題 */

2026-06-02T12:05:52Z

ラプラス変換の定義に関する例題

← 古い版		2026年6月2日 (火) 21:05時点における版
55行目:		55行目:
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
	\mathcal{L}[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-0 \dot t}} dt = \int_{0}^{+ \infty} dt \\		\mathcal{L}[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-0 \dot t}} dt \\
			&= \int_{0}^{+ \infty} dt \\
	&= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta}} {dt} \\		&= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta}} {dt} \\
	&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ t \Big]_{0}^{\beta} \\		&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ t \Big]_{0}^{\beta} \\

Wiki: /* ラプラス変換の定義 */

2026-06-02T12:00:45Z

ラプラス変換の定義

← 古い版		2026年6月2日 (火) 21:00時点における版
29行目:		29行目:
	<math>f(t)</math> から <math>F(s)</math> に変換する式の説明<br>		<math>f(t)</math> から <math>F(s)</math> に変換する式の説明<br>
	<math>f(t)</math> に <math>e^{-st}</math> を乗算して <math>f(t) \, e^{-st}</math> を作る時、<math>s</math> は定数とみなしてよい。<br>		<math>f(t)</math> に <math>e^{-st}</math> を乗算して <math>f(t) \, e^{-st}</math> を作る時、<math>s</math> は定数とみなしてよい。<br>
	次に、この関数を <math>0 \~~mbox{　〜　}~~ + \infty</math> の範囲で積分する。(積分は変数tで行うので、sはまだ定数とみなしてよい)<br>		次に、この関数を <math>0 \sim +\infty</math> の範囲で積分する。(積分は変数tで行うので、sはまだ定数とみなしてよい)<br>
	無限積分は定積分なので、積分の結果、変数tは消える。(ここで定数と見なしていたsは残る)<br>		無限積分は定積分なので、積分の結果、変数tは消える。(ここで定数と見なしていたsは残る)<br>
	これを、sの関数 <math>F(s)</math> とする。<br>		これを、sの関数 <math>F(s)</math> とする。<br>

Wiki: /* ラプラス変換の定義に関する例題 */

2026-06-02T11:28:47Z

ラプラス変換の定義に関する例題

← 古い版		2026年6月2日 (火) 20:28時点における版
40行目:		40行目:

	== ラプラス変換の定義に関する例題 ==		== ラプラス変換の定義に関する例題 ==
	ラプラス変換の定義に従って、関数 <math>f(t) = 1</math> のラプラス変換 <math>L[f]</math> を求めよ。		ラプラス変換の定義に従って、関数 <math>f(t) = 1</math> のラプラス変換 <math>\mathcal{L}[f]</math> を求めよ。

	<math>		<math>
82行目:		82行目:
	以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br>		以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br>
	<br>		<br>
	<math>L[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math>		<math>\mathcal{L}[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* ラプラス変換の定義 */

2026-06-02T11:28:30Z

ラプラス変換の定義

← 古い版		2026年6月2日 (火) 20:28時点における版
18行目:		18行目:
	この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>\mathcal{L}[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>		この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>\mathcal{L}[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>
	<br>		<br>
	<math>F(s) = L[f(t)]</math>		<math>F(s) = \mathcal{L}[f(t)]</math>

	<math>F(s) = \int_{0}^{+ \infty} f(t) \, e^{-st} dt</math>		<math>F(s) = \int_{0}^{+ \infty} f(t) \, e^{-st} dt</math>

Wiki: /* ラプラス変換の定義 */

2026-06-02T11:28:18Z

ラプラス変換の定義

← 古い版		2026年6月2日 (火) 20:28時点における版
16行目:		16行目:
	定義:		定義:
	<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。<br>		<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。<br>
	この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>L[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>		この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>\mathcal{L}[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>
	<br>		<br>
	<math>F(s) = L[f(t)]</math>		<math>F(s) = L[f(t)]</math>

Wiki: /* ラプラス変換の定義に関する例題 */

2026-06-02T11:25:19Z

ラプラス変換の定義に関する例題

← 古い版		2026年6月2日 (火) 20:25時点における版
44行目:		44行目:
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
	L[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {f(t) \, e^{-st}} dt \\		\mathcal{L}[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {f(t) \, e^{-st}} dt \\
	&= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-st}} dt		&= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-st}} dt
	\end{align}		\end{align}
55行目:		55行目:
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
	L[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-0 \dot t}} dt = \int_{0}^{+ \infty} dt \\		\mathcal{L}[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-0 \dot t}} dt = \int_{0}^{+ \infty} dt \\
	&= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta}} {dt} \\		&= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta}} {dt} \\
	&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ t \Big]_{0}^{\beta} \\		&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ t \Big]_{0}^{\beta} \\
67行目:		67行目:
	<math>		<math>
	\begin{align}		\begin{align}
	L[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-st}} dt \\		\mathcal{L}[f] &= \int_{0}^{+ \infty} {e^{-st}} dt \\
	&= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta} {e^{-st}} dt} \\		&= \lim_{\beta \to + \infty} {\int_{0}^{\beta} {e^{-st}} dt} \\
	&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ - \frac{e^{-st}}{s} \Big]_{0}^{\beta} \\		&= \lim_{\beta \to + \infty} \Big[ - \frac{e^{-st}}{s} \Big]_{0}^{\beta} \\

Wiki: /* ラプラス変換公式を使用した例題 */

2026-06-02T09:47:25Z

ラプラス変換公式を使用した例題

← 古い版		2026年6月2日 (火) 18:47時点における版
157行目:		157行目:

	(1) <math>\mathcal{L}[t^2]</math>		(1) <math>\mathcal{L}[t^2]</math>
	(2) <math>\mathcal{L}[\sqrt(t)]</math>		(2) <math>\mathcal{L}[\sqrt{t}]</math>
	(3) <math>\mathcal{L}[\sin{\omega t}]</math>		(3) <math>\mathcal{L}[\sin{\omega t}]</math>
	(4) <math>\mathcal{L}[\cos{\frac{t}{3}}]</math>		(4) <math>\mathcal{L}[\cos{\frac{t}{3}}]</math>
165行目:		165行目:
	*: <math>\mathcal{L}[t^2] = \frac{2!}{s^{(2 + 1)}} = \frac{2}{s^3} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[t^2] = \frac{2!}{s^{(2 + 1)}} = \frac{2}{s^3} \quad (s > 0)</math>
	* (2)の解答		* (2)の解答
	*: <math>\mathcal{L}[\sqrt{t}] = \mathcal{L} \left[ t^{\frac{1}{2}} \right] = \frac{\Gamma(\frac{1}{2} + 1)}{s^{(1/2) + 1}} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s \sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[\sqrt{t}] = \mathcal{L} \left[ t^{\frac{1}{2}} \right] = \frac{\Gamma(\frac{1}{2} + 1)}{s^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s \sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>
	*: 参考: <math>\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi}, \quad \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \quad (\alpha > 0)</math>		*: 参考: <math>\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}, \quad \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \quad (\alpha > 0)</math>
	* (3)の解答		* (3)の解答
	*: <math>\mathcal{L}[\sin{2t}] = \frac{2}{s^2 + 2^2} = \frac{2}{s^2 + 4} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[\sin{2t}] = \frac{2}{s^2 + 2^2} = \frac{2}{s^2 + 4} \quad (s > 0)</math>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2026-06-02T09:39:57Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2026年6月2日 (火) 18:39時点における版
134行目:		134行目:
	! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件		! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件
	\|-		\|-
	\| 線形法則<br><math>\sinh(at)</math> \|\| <math>\frac{a}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>		\| 線形法則<br><math>\sinh{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>
	\|-		\|-
	\| 線形法則<br><math>\cosh(at)</math> \|\| <math>\frac{s}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>		\| 線形法則<br><math>\cosh{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>
	\|-		\|-
	\| 相似法則<br><math>f(at)</math> \|\| <math>\frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>s > \alpha a</math>		\| 相似法則<br><math>f(at)</math> \|\| <math>\frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>s > \alpha a</math>
148行目:		148行目:
	<br>		<br>
	: ※備考		: ※備考
	:: <math>\sinh(at) = \frac{e^{at} - e^{-at}}{2}</math><br>		:: <math>\sinh{at} = \frac{e^{at} - e^{-at}}{2}</math><br>
	:: <math>\cosh(at) = \frac{e^{at} + e^{-at}}{2}</math><br>		:: <math>\cosh{at} = \frac{e^{at} + e^{-at}}{2}</math><br>
	</center>		</center>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* ラプラス変換の定義 */

2026-06-02T09:10:57Z

ラプラス変換の定義

← 古い版		2026年6月2日 (火) 18:10時点における版
17行目:		17行目:
	<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。<br>		<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。<br>
	この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>L[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>		この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>L[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>
	<~~syntaxhighlight lang="text"~~>		<br>
	<math>F(s) = L[f(t)]</math~~><br~~>		<math>F(s) = L[f(t)]</math>

	<math>F(s) = \int_{0}^{+ \infty} f(t) \, e^{-st} dt</math~~><br~~>		<math>F(s) = \int_{0}^{+ \infty} f(t) \, e^{-st} dt</math>

	<math>f(t)</math> を原関数(primitive function)、<math>F(s)</math> を像関数(image function)または <math>f(t)</math> のラプラス変換と呼ぶ。~~<br>~~		<math>f(t)</math> を原関数(primitive function)、<math>F(s)</math> を像関数(image function)または <math>f(t)</math> のラプラス変換と呼ぶ。
	<math>F(s)</math> のsは実数または複素数である。~~<br>~~		<math>F(s)</math> のsは実数または複素数である。
	~~</syntaxhighlight>~~
	<br>		<br>
	<math>f(t)</math> が <math>t > 0</math> で定義されていて、<math>t = 0</math> では定義されていない場合でも、<math>f(0)</math>の値を適当に決めて <math>t \ge 0</math> で定義されているとしてよい。<br>		<math>f(t)</math> が <math>t > 0</math> で定義されていて、<math>t = 0</math> では定義されていない場合でも、<math>f(0)</math>の値を適当に決めて <math>t \ge 0</math> で定義されているとしてよい。<br>

Wiki: /* ラプラス変換の定義 */

2026-06-02T09:09:27Z

ラプラス変換の定義

← 古い版		2026年6月2日 (火) 18:09時点における版
17行目:		17行目:
	<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。<br>		<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。<br>
	この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>L[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>		この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>L[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>
			<syntaxhighlight lang="text">
	<math>F(s) = L[f(t)]</math><br>		<math>F(s) = L[f(t)]</math><br>

23行目:		24行目:
	<math>f(t)</math> を原関数(primitive function)、<math>F(s)</math> を像関数(image function)または <math>f(t)</math> のラプラス変換と呼ぶ。<br>		<math>f(t)</math> を原関数(primitive function)、<math>F(s)</math> を像関数(image function)または <math>f(t)</math> のラプラス変換と呼ぶ。<br>
	<math>F(s)</math> のsは実数または複素数である。<br>		<math>F(s)</math> のsは実数または複素数である。<br>
			</syntaxhighlight>
	<br>		<br>
	<math>f(t)</math> が <math>t > 0</math> で定義されていて、<math>t = 0</math> では定義されていない場合でも、<math>f(0)</math>の値を適当に決めて <math>t \ge 0</math> で定義されているとしてよい。<br>		<math>f(t)</math> が <math>t > 0</math> で定義されていて、<math>t = 0</math> では定義されていない場合でも、<math>f(0)</math>の値を適当に決めて <math>t \ge 0</math> で定義されているとしてよい。<br>

Wiki: /* ラプラス変換の定義 */

2026-06-02T09:08:18Z

ラプラス変換の定義

← 古い版		2026年6月2日 (火) 18:08時点における版
14行目:		14行目:

	== ラプラス変換の定義 ==		== ラプラス変換の定義 ==
	定義:		定義:
	<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。		<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。<br>
	この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>L[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。		この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>L[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。<br>
	<math>F(s) = L[f(t)]</math>		<math>F(s) = L[f(t)]</math><br>

	<math>F(s) = \int_{0}^{+ \infty} f(t) \, e^{-st} dt</math>		<math>F(s) = \int_{0}^{+ \infty} f(t) \, e^{-st} dt</math><br>

	<math>f(t)</math> を原関数(primitive function)、<math>F(s)</math> を像関数(image function)または <math>f(t)</math> のラプラス変換と呼ぶ。		<math>f(t)</math> を原関数(primitive function)、<math>F(s)</math> を像関数(image function)または <math>f(t)</math> のラプラス変換と呼ぶ。<br>
	<math>F(s)</math> のsは実数または複素数である。		<math>F(s)</math> のsは実数または複素数である。<br>
	<br>		<br>
	<math>f(t)</math> が <math>t > 0</math> で定義されていて、<math>t = 0</math> では定義されていない場合でも、<math>f(0)</math>の値を適当に決めて <math>t \ge 0</math> で定義されているとしてよい。<br>		<math>f(t)</math> が <math>t > 0</math> で定義されていて、<math>t = 0</math> では定義されていない場合でも、<math>f(0)</math>の値を適当に決めて <math>t \ge 0</math> で定義されているとしてよい。<br>

Wiki: /* ラプラス変換の定義に関する例題 */

2026-06-02T09:00:25Z

ラプラス変換の定義に関する例題

← 古い版		2026年6月2日 (火) 18:00時点における版
80行目:		80行目:
	<br>		<br>
	以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br>		以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br>
	<math>L[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math~~><br~~>		<br>
			<math>L[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* ラプラス変換の定義に関する例題 */

2026-06-02T08:59:25Z

ラプラス変換の定義に関する例題

← 古い版		2026年6月2日 (火) 17:59時点における版
80行目:		80行目:
	<br>		<br>
	以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br>		以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br>
	~~<br>~~		<math>L[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math><br>
	<math>L[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math><br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* ラプラス変換の定義に関する例題 */

2026-06-02T08:59:07Z

ラプラス変換の定義に関する例題

← 古い版		2026年6月2日 (火) 17:59時点における版
80行目:		80行目:
	<br>		<br>
	以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br>		以上より、<math>s > 0</math> の時のみ <math>L[f]</math> は収束し、次式となる。<br>
			<br>
	<math>L[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math><br>		<math>L[1] = \frac{1}{s} \qquad (s > 0)</math><br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2025-01-09T17:28:51Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2025年1月10日 (金) 02:28時点における版
114行目:		114行目:
	\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>		\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>		\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>		\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>
	\|-		\|-
	\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>		\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>

Wiki: /* ラプラス変換公式を使用した例題 */

2024-11-14T04:02:39Z

ラプラス変換公式を使用した例題

← 古い版		2024年11月14日 (木) 13:02時点における版
161行目:		161行目:
	<br>		<br>
	* (1)の解答		* (1)の解答
	*: <math>\mathcal{L}[t^2] = \frac{2!}{s^(2 + 1)} = \frac{2}{s^3} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[t^2] = \frac{2!}{s^{(2 + 1)}} = \frac{2}{s^3} \quad (s > 0)</math>
	* (2)の解答		* (2)の解答
	*: <math>\mathcal{L}[\sqrt{t}] = \mathcal{L} \left[ t^{\frac{1}{2}} \right] = \frac{\Gamma(\frac{1}{2} + 1)}{s^{(1/2) + 1}} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s \sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[\sqrt{t}] = \mathcal{L} \left[ t^{\frac{1}{2}} \right] = \frac{\Gamma(\frac{1}{2} + 1)}{s^{(1/2) + 1}} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s \sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2024-11-14T03:34:11Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2024年11月14日 (木) 12:34時点における版
114行目:		114行目:
	\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>		\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>		\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>		\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>
	\|-		\|-
	\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>		\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2024-11-05T08:28:47Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2024年11月5日 (火) 17:28時点における版
114行目:		114行目:
	\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>		\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>		\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>		\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>
	\|-		\|-
	\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>		\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2024-11-05T08:24:35Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2024年11月5日 (火) 17:24時点における版
114行目:		114行目:
	\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>		\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>		\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>		\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数 }</math>
	\|-		\|-
	\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>		\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2024-01-09T20:54:20Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2024年1月10日 (水) 05:54時点における版
100行目:		100行目:
	{\| class="wikitable" \| style="background-color:#fefefe;text-align: center;"		{\| class="wikitable" \| style="background-color:#fefefe;text-align: center;"
	\|-		\|-
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>~~\color{White}~~ f(t)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>f(t)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>~~\color{White}~~ F(s)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>F(s)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件		! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件
	\|-		\|-
	\| <math>~~\color{White}~~ 1</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{1}{s}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > 0</math>		\| <math>1</math> \|\| <math>\frac{1}{s}</math> \|\| <math>s > 0</math>
	\|-		\|-
	\| <math>~~\color{White}~~ t</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{1}{s^2}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > 0</math>		\| <math>t</math> \|\| <math>\frac{1}{s^2}</math> \|\| <math>s > 0</math>
	\|-		\|-
	\| <math>~~\color{White}~~ t^{n}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{n!}{s^{n + 1}}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > 0, \quad n = 0, 1, 2, \cdots</math>		\| <math>t^{n}</math> \|\| <math>\frac{n!}{s^{n + 1}}</math> \|\| <math>s > 0, \quad n = 0, 1, 2, \cdots</math>
	\|-		\|-
	\| <math>~~\color{White}~~ t^{\alpha}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{s^{\alpha + 1}}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \alpha > -1, \quad s > 0</math>		\| <math>t^{\alpha}</math> \|\| <math>\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{s^{\alpha + 1}}</math> \|\| <math>\alpha > -1, \quad s > 0</math>
	\|-		\|-
	\| <math>~~\color{White}~~ e^{at}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > \alpha</math>		\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>
	\|-		\|-
	\| <math>~~\color{White}~~ \sin{at}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>		\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>
	\|-		\|-
	\| <math>~~\color{White}~~ \cos{at}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>		\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>
	\|-		\|-
	\| 単位階段関数 <math>~~\color{White}~~ U(t - a)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > 0, \quad a > 0</math>		\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>
	\|-		\|-
	\| デルタ関数 <math>~~\color{White}~~ \delta(t)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ 1</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ - \infty < s < \infty</math>		\| デルタ関数 <math>\delta(t)</math> \|\| <math>1</math> \|\| <math>- \infty < s < \infty</math>
	\|}		\|}
	</center>		</center>
128行目:		128行目:
	\|+ 法則		\|+ 法則
	\|-		\|-
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>~~\color{White}~~ f(t)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>f(t)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>~~\color{White}~~ F(s)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>F(s)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件		! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件
	\|-		\|-
	\| 線形法則<br><math>~~\color{White}~~ \sinh(at)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{a}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > a \ge 0</math>		\| 線形法則<br><math>\sinh(at)</math> \|\| <math>\frac{a}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>
	\|-		\|-
	\| 線形法則<br><math>~~\color{White}~~ \cosh(at)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{s}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > a \ge 0</math>		\| 線形法則<br><math>\cosh(at)</math> \|\| <math>\frac{s}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>
	\|-		\|-
	\| 相似法則<br><math>~~\color{White}~~ f(at)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > \alpha a</math>		\| 相似法則<br><math>f(at)</math> \|\| <math>\frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>s > \alpha a</math>
	\|-		\|-
	\| 第1移動法則<br><math>~~\color{White}~~ e^{\lambda t} \sin(at)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{a}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > \lambda</math>		\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \sin(at)</math> \|\| <math>\frac{a}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>
	\|-		\|-
	\| 第1移動法則<br><math>~~\color{White}~~ e^{\lambda t} \cos(at)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ \frac{s - \lambda}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > \lambda</math>		\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \cos(at)</math> \|\| <math>\frac{s - \lambda}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>
	\|-		\|-
	\| 第2移動法則<br><math>~~\color{White}~~ U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ e^{- \lambda s} \, F(s)</math> \|\| <math>~~\color{White}~~ s > a</math>		\| 第2移動法則<br><math>U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)</math> \|\| <math>e^{- \lambda s} \, F(s)</math> \|\| <math>s > a</math>
	\|}		\|}
	<br>		<br>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2024-01-09T05:10:06Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2024年1月9日 (火) 14:10時点における版
100行目:		100行目:
	{\| class="wikitable" \| style="background-color:#fefefe;text-align: center;"		{\| class="wikitable" \| style="background-color:#fefefe;text-align: center;"
	\|-		\|-
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>f(t)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>\color{White} f(t)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>F(s)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>\color{White} F(s)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件		! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件
	\|-		\|-
	\| <math>1</math> \|\| <math>\frac{1}{s}</math> \|\| <math>s > 0</math>		\| <math>\color{White} 1</math> \|\| <math>\color{White} \frac{1}{s}</math> \|\| <math>\color{White} s > 0</math>
	\|-		\|-
	\| <math>t</math> \|\| <math>\frac{1}{s^2}</math> \|\| <math>s > 0</math>		\| <math>\color{White} t</math> \|\| <math>\color{White} \frac{1}{s^2}</math> \|\| <math>\color{White} s > 0</math>
	\|-		\|-
	\| <math>t^{n}</math> \|\| <math>\frac{n!}{s^{n + 1}}</math> \|\| <math>s > 0, \quad n = 0, 1, 2, \cdots</math>		\| <math>\color{White} t^{n}</math> \|\| <math>\color{White} \frac{n!}{s^{n + 1}}</math> \|\| <math>\color{White} s > 0, \quad n = 0, 1, 2, \cdots</math>
	\|-		\|-
	\| <math>t^{\alpha}</math> \|\| <math>\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{s^{\alpha + 1}}</math> \|\| <math>\alpha > -1, \quad s > 0</math>		\| <math>\color{White} t^{\alpha}</math> \|\| <math>\color{White} \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{s^{\alpha + 1}}</math> \|\| <math>\color{White} \alpha > -1, \quad s > 0</math>
	\|-		\|-
	\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>		\| <math>\color{White} e^{at}</math> \|\| <math>\color{White} \frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>\color{White} s > \alpha</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>		\| <math>\color{White} \sin{at}</math> \|\| <math>\color{White} \frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>\color{White} s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>		\| <math>\color{White} \cos{at}</math> \|\| <math>\color{White} \frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>\color{White} s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>
	\|-		\|-
	\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>		\| 単位階段関数 <math>\color{White} U(t - a)</math> \|\| <math>\color{White} \frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>\color{White} s > 0, \quad a > 0</math>
	\|-		\|-
	\| デルタ関数 <math>\delta(t)</math> \|\| <math>1</math> \|\| <math>- \infty < s < \infty</math>		\| デルタ関数 <math>\color{White} \delta(t)</math> \|\| <math>\color{White} 1</math> \|\| <math>\color{White} - \infty < s < \infty</math>
	\|}		\|}
	</center>		</center>
128行目:		128行目:
	\|+ 法則		\|+ 法則
	\|-		\|-
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>f(t)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>\color{White} f(t)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>F(s)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>\color{White} F(s)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件		! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件
	\|-		\|-
	\| 線形法則<br><math>\sinh(at)</math> \|\| <math>\frac{a}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>		\| 線形法則<br><math>\color{White} \sinh(at)</math> \|\| <math>\color{White} \frac{a}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>\color{White} s > a \ge 0</math>
	\|-		\|-
	\| 線形法則<br><math>\cosh(at)</math> \|\| <math>\frac{s}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>		\| 線形法則<br><math>\color{White} \cosh(at)</math> \|\| <math>\color{White} \frac{s}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>\color{White} s > a \ge 0</math>
	\|-		\|-
	\| 相似法則<br><math>f(at)</math> \|\| <math>\frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>s > \alpha a</math>		\| 相似法則<br><math>\color{White} f(at)</math> \|\| <math>\color{White} \frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>\color{White} s > \alpha a</math>
	\|-		\|-
	\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \sin(at)</math> \|\| <math>\frac{a}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>		\| 第1移動法則<br><math>\color{White} e^{\lambda t} \sin(at)</math> \|\| <math>\color{White} \frac{a}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>\color{White} s > \lambda</math>
	\|-		\|-
	\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \cos(at)</math> \|\| <math>\frac{s - \lambda}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>		\| 第1移動法則<br><math>\color{White} e^{\lambda t} \cos(at)</math> \|\| <math>\color{White} \frac{s - \lambda}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>\color{White} s > \lambda</math>
	\|-		\|-
	\| 第2移動法則<br><math>U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)</math> \|\| <math>e^{- \lambda s} \, F(s)</math> \|\| <math>s > a</math>		\| 第2移動法則<br><math>\color{White} U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)</math> \|\| <math>\color{White} e^{- \lambda s} \, F(s)</math> \|\| <math>\color{White} s > a</math>
	\|}		\|}
	<br>		<br>

Wiki: /* 合成積 */

2023-09-03T00:47:41Z

合成積

@@ 418行目: / 418行目: @@
 *: 時刻 <math>t</math> においては、 <math>\tau</math> が <math>0</math> から <math>t</math> までの全ての影響を受けるので、それらを全部重ねあわせた波形 <math>(f*g)(t)</math> が耳に到達する。
 *: したがって、耳に到達する音の波形は、 <math>h(t) = (f*g)(t)</math> となる。
 <br><br>

Wiki: /* 合成積 */

2023-09-02T22:16:16Z

合成積

@@ 407行目: / 407行目: @@
   <math>(f*g)(t) = \int_{0}^{t} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math>
+<br>
 == ラプラス変換による微分方程式の解法 ==
 [[ファイル:Applied Mathematics Laplace Transform 1.png|フレームなし|中央]]

Wiki: /* ラプラス変換による微分方程式の解法 */

2023-09-02T22:09:00Z

ラプラス変換による微分方程式の解法

← 古い版		2023年9月3日 (日) 07:09時点における版
401行目:		401行目:
	<br><br>		<br><br>

			== 合成積 ==
			定義:
			<math>f(t), \, g(t)</math> は <math>t \ge 0</math> において区分的に連続であるとする。
			この時、以下の関数 <math>(f*g)(t)</math> を <math>f(t)</math> と <math>g(t)</math> の合成積(convolution)あるいは畳み込みという。

			<math>(f*g)(t) = \int_{0}^{t} {f(\tau)g(t - \tau)} d \tau</math>
			0
	== ラプラス変換による微分方程式の解法 ==		== ラプラス変換による微分方程式の解法 ==
	[[ファイル:Applied Mathematics Laplace Transform 1.png\|フレームなし\|中央]]		[[ファイル:Applied Mathematics Laplace Transform 1.png\|フレームなし\|中央]]

Wiki: /* t^{n} 積法則 */

2023-09-02T22:04:51Z

t^{n} 積法則

← 古い版		2023年9月3日 (日) 07:04時点における版
360行目:		360行目:
	<br><br>		<br><br>

	== <~~math~~>~~t^{~~n}</~~math~~> 積法則 ==		== t<sup>n</sup>積法則 ==
	定理:		定理:
	<math>f(t)</math>は、 <math>t \ge 0</math> において区分的に連続で指数α位の関数とする。		<math>f(t)</math>は、 <math>t \ge 0</math> において区分的に連続で指数α位の関数とする。

Wiki: /* ラプラス変換による微分方程式の解法 */

2023-09-02T22:01:51Z

ラプラス変換による微分方程式の解法

@@ 326行目: / 326行目: @@
   \iff (s - 1) \mathcal{L}[t e^{t}] &= \frac{1}{s - 1} \qquad (s > 1) \\
   \iff \mathcal{L}[t e^{t}] &= \frac{1}{(s - 1)^{2}} \qquad (s > 1)
   \end{align}
   </math>

Wiki: /* 微分法則 */

2023-09-02T20:59:51Z

微分法則

@@ 299行目: / 299行目: @@
   (1) <math>\mathcal{L} \left[ \frac{df(t)}{dt} \right] = s \mathcal{L}[f(t)] - f(0)</math>
   (2) <math>\mathcal{L} \left[ \frac{d^2 f(t)}{dt^{2}} \right] = s^{2} \mathcal{L}[f(t)] - s f(0) - \frac{df(0)}{dt}</math>
 <br><br>

Wiki: /* 微分法則 */

2023-09-02T11:22:17Z

微分法則

← 古い版		2023年9月2日 (土) 20:22時点における版
274行目:		274行目:
	定理1:		定理1:
	<math>f(x)</math> は <math>t \ge 0</math> で定義された連続な関数で、以下を満たす定数Mとαが存在し、微分可能であるとする。		<math>f(x)</math> は <math>t \ge 0</math> で定義された連続な関数で、以下を満たす定数Mとαが存在し、微分可能であるとする。
	<math>\|f(t)\| \le M e6{\alpha t}</math>		<math>\|f(t)\| \le M e^{\alpha t}</math>

	この時、<math>\frac{df(t)}{dt}</math> が区分的に連続であれば、<math>s > \alpha</math> の時 <math>\mathcal{L}[\frac{df(t)}{dt}]</math> が存在し、以下が成立する。		この時、<math>\frac{df(t)}{dt}</math> が区分的に連続であれば、<math>s > \alpha</math> の時 <math>\mathcal{L} \left[ \frac{df(t)}{dt} \right]</math> が存在し、以下が成立する。
	<math>\mathcal{L}[\frac{df(t)}{dt}] = s \mathcal{L}[f(t)] - f(0) \qquad (s > \alpha)</math>		<math>\mathcal{L} \left[ \frac{df(t)}{dt} \right] = s \mathcal{L}[f(t)] - f(0) \qquad (s > \alpha)</math>

	定理1の説明:		定理1の説明:
284行目:		284行目:
	<br>		<br>
	定理2:		定理2:
	<math>t \ge 0</math> において、 <math>f(t), \, \frac{df(t)}{dt}, \, \cdots , \, f^{(n - 1)} (t)</math> は連続な関数で、以下を満たす定数Mとαが存在すると仮定する。		<math>t \ge 0</math> において、 <math>f(t), \, \frac{df(t)}{dt}, \, \cdots , \, \frac{d^{(n - 1)} f(t)}{dt^{(n - 1)}}</math> は連続な関数で、以下を満たす定数Mとαが存在すると仮定する。
	<math>\|f^{(i)} (t)\| \le M e^{\alpha t} \qquad (i = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)</math>		<math>\|f^{(i)} (t)\| \le M e^{\alpha t} \qquad (i = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)</math>

	この時、 <math>t \ge 0</math> において <math>f^{(n)} (t)</math> が区分的に連続であれば、 <math>s > \alpha</math> の時、 <math>\mathcal{L}[f^{(n)} (t)]</math> が存在し、以下が成立する。		この時、 <math>t \ge 0</math> において <math>\frac{d^{n} f(t)}{dt^{n}}</math> が区分的に連続であれば、 <math>s > \alpha</math> の時、 <math>\mathcal{L} \left[ \frac{d^{n} f(t)}{dt^{n}} \right]</math> が存在し、以下が成立する。
	<math>\mathcal{L}[f^{(n)} (t)] = s^{n} \mathcal{L}[f(t)] - s^{n - 1} f(0) - \cdots - s f^{(n - 2)}(0) - f^{(n - 1)}(0) \qquad (s > \alpha)</math>		<math>\mathcal{L}[f^{(n)} (t)] = s^{n} \mathcal{L}[f(t)] - s^{n - 1} f(0) - \cdots - s \frac{d^{(n - 2)} f(0)}{dt^{(n - 2)}} - \frac{d^{(n - 1)} f(0)}{dt^{(n - 1)}} \qquad (s > \alpha)</math>

	定理2の説明:		定理2の説明:

Wiki: /* 第2移動法則 */

2023-09-02T08:14:00Z

第2移動法則

@@ 269行目: / 269行目: @@
   \end{align}
   </math>
 <br><br>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2023-09-02T05:40:46Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2023年9月2日 (土) 14:40時点における版
136行目:		136行目:
	\| 線形法則<br><math>\cosh(at)</math> \|\| <math>\frac{s}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>		\| 線形法則<br><math>\cosh(at)</math> \|\| <math>\frac{s}{s^{2} - a^{2}}</math> \|\| <math>s > a \ge 0</math>
	\|-		\|-
	\| 相似法則<br><math></math> \|\| <math></math> \|\| <math></math>		\| 相似法則<br><math>f(at)</math> \|\| <math>\frac{1}{a} \, F \left( \frac{s}{a} \right)</math> \|\| <math>s > \alpha a</math>
	\|-		\|-
	\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \sin(at)</math> \|\| <math>\frac{a}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>		\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \sin(at)</math> \|\| <math>\frac{a}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>
142行目:		142行目:
	\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \cos(at)</math> \|\| <math>\frac{s - \lambda}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>		\| 第1移動法則<br><math>e^{\lambda t} \cos(at)</math> \|\| <math>\frac{s - \lambda}{(s - \lambda)^{2} + a^{2}}</math> \|\| <math>s > \lambda</math>
	\|-		\|-
	\| 第2移動法則<br><math></math> \|\| \|\|		\| 第2移動法則<br><math>U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)</math> \|\| <math>e^{- \lambda s} \, F(s)</math> \|\| <math>s > a</math>
	\|}		\|}
	<br>		<br>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2023-09-02T05:23:02Z

基本的な関数のラプラス変換公式

@@ 98行目: / 98行目: @@
 <br>
 <center>
-{| class="wikitable" | style="background-color:#fefefe;"
+{| class="wikitable" | style="background-color:#fefefe;text-align: center;"
 |-
 ! style="background-color:#66CCFF;width:30%" | <math>f(t)</math>
@@ 122行目: / 122行目: @@
 | デルタ関数 <math>\delta(t)</math> || <math>1</math> || <math>- \infty < s < \infty</math>
 |}
 </center>
 <br><br>

Wiki: /* 第1移動法則 */

2023-09-02T05:07:00Z

第1移動法則

← 古い版		2023年9月2日 (土) 14:07時点における版
217行目:		217行目:

	ここで、 <math>s - 3 > 0</math> より、 <math>s > 3</math>		ここで、 <math>s - 3 > 0</math> より、 <math>s > 3</math>
			<br><br>

			== 第2移動法則 ==
			定理:
			<math>\mathcal{L}[f(t)] = F(s) \quad (s > a)</math> の時、正の定数 <math>\lambda</math> について以下が成立する。
			<math>\mathcal{L}[U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)] = e^{- \lambda s} \, F(s) \quad (s > a)</math>

			説明:
			<math>f(t)</math> を <math>\lambda</math> だけ平行移動させることは、ラプラス変換した側では <math>F(s)</math> に指数関数 <math>e^{- \lambda s}</math> を乗算することに対応する。
			<math>U(t - \lambda) \, f(t - \lambda)</math> のグラフは、<math>t \ge \lambda</math> の時は <math>f(t - \lambda)</math> 、 <math>t < \lambda</math> の時は <math>0</math> となる。
			<br>
			例題:
			第2移動法則を用いて以下の値を求めよ。
			<math>\mathcal{L}[U(t - 2)(t - 2)^2]</math>

			解答:
			<math>U(t - 2)(t - 2)^2</math> は第2移動法則において、 <math>\lambda = 2, \quad f(t) = t^{2}</math> の場合に対応する。
			第2移動法則およびラプラス変換の公式 <math>\mathcal{L}[t^{n}] = \frac{n!}{s^{n + 1}} \quad (s > 0)</math> を使用して計算する。

			<math>
			\begin{align}
			\mathcal{L}[U(t - 2)(t - 2)^2] &= e^{-2s} \mathcal{L}[t^{2}] \\
			&= e^{-2s} \, \frac{2!}{s^{2 + 1}} \qquad ( \mbox{ 第 2 移動法則 } )\\
			&= \frac{2}{s^{3}} e^{-2s} \qquad (s > 0) \qquad ( \mbox{ 変換公式 } )
			\end{align}
			</math>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* ラプラス変換による微分方程式の解法 */

2023-09-02T03:48:50Z

ラプラス変換による微分方程式の解法

@@ 145行目: / 145行目: @@
 * (5)の解答
 *: <math>\mathcal{L}[e^{-t}] = \frac{1}{s - (-1)} = \frac{1}{s + 1} \quad (s > -1)</math>
 <br><br>

Wiki: /* 基本的な関数のラプラス変換公式 */

2023-09-02T01:52:54Z

基本的な関数のラプラス変換公式

← 古い版		2023年9月2日 (土) 10:52時点における版
117行目:		117行目:
	\|-		\|-
	\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>		\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>
			\|-
			\| 単位階段関数 <math>U(t - a)</math> \|\| <math>\frac{e^{-as}}{s}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a > 0</math>
			\|-
			\| デルタ関数 <math>\delta(t)</math> \|\| <math>1</math> \|\| <math>- \infty < s < \infty</math>
	\|}		\|}
	</center>		</center>

Wiki: /* ラプラス変換公式を使用した例題 */

2023-09-02T01:36:16Z

ラプラス変換公式を使用した例題

← 古い版		2023年9月2日 (土) 10:36時点における版
124行目:		124行目:
	ラプラス変換公式を使用して、以下の関数のラプラス変換を求めよ。		ラプラス変換公式を使用して、以下の関数のラプラス変換を求めよ。

	(1) <math>L[t^2]</math>		(1) <math>\mathcal{L}[t^2]</math>
	(2) <math>L[\sqrt(t)]</math>		(2) <math>\mathcal{L}[\sqrt(t)]</math>
	(3) <math>L[\sin{\omega t}]</math>		(3) <math>\mathcal{L}[\sin{\omega t}]</math>
	(4) <math>L[\cos{\frac{t}{3}}]</math>		(4) <math>\mathcal{L}[\cos{\frac{t}{3}}]</math>
	(5) <math>L[e^{-t}]</math>		(5) <math>\mathcal{L}[e^{-t}]</math>
	<br>		<br>
	* (1)の解答		* (1)の解答
	*: <math>L[t^2] = \frac{2!}{s^(2 + 1)} = \frac{2}{s^3} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[t^2] = \frac{2!}{s^(2 + 1)} = \frac{2}{s^3} \quad (s > 0)</math>
	* (2)の解答		* (2)の解答
	*: <math>L[\sqrt{t}] = L[t^{\frac{1}{2}}] = \frac{\Gamma(\frac{1}{2} + 1)}{s^{(1/2) + 1}} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s \sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[\sqrt{t}] = \mathcal{L} \left[ t^{\frac{1}{2}} \right] = \frac{\Gamma(\frac{1}{2} + 1)}{s^{(1/2) + 1}} = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(\frac{1}{2})}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s \sqrt{s}} \quad (s > 0)</math>
	*: 参考: <math>\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi}, \quad \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \quad (\alpha > 0)</math>		*: 参考: <math>\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) = \sqrt{\pi}, \quad \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \quad (\alpha > 0)</math>
	* (3)の解答		* (3)の解答
	*: <math>L[\sin{2t}] = \frac{2}{s^2 + 2^2} = \frac{2}{s^2 + 4} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L}[\sin{2t}] = \frac{2}{s^2 + 2^2} = \frac{2}{s^2 + 4} \quad (s > 0)</math>
	* (4)の解答		* (4)の解答
	*: <math>L[\cos{\frac{t}{3}}] = \frac{s}{s^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 } = \frac{s}{s^2 + \frac{1}{9}} = \frac{9s}{9 s^2 + 1} \quad (s > 0)</math>		*: <math>\mathcal{L} \left[ \cos{\frac{t}{3}} \right] = \frac{s}{s^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 } = \frac{s}{s^2 + \frac{1}{9}} = \frac{9s}{9 s^2 + 1} \quad (s > 0)</math>
	* (5)の解答		* (5)の解答
	*: <math>L[e^{-t}] = \frac{1}{s - (-1)} = \frac{1}{s + 1} \quad (s > -1)</math>		*: <math>\mathcal{L}[e^{-t}] = \frac{1}{s - (-1)} = \frac{1}{s + 1} \quad (s > -1)</math>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* ラプラス変換公式を使用した例題 */

2023-09-02T01:33:08Z

ラプラス変換公式を使用した例題

@@ 122行目: / 122行目: @@
 == ラプラス変換公式を使用した例題 ==
+ ラプラス変換公式を使用して、以下の関数のラプラス変換を求めよ。
 <br><br>

Wiki: /* ラプラス変換の例 */

2023-09-02T01:10:42Z

ラプラス変換の例

← 古い版		2023年9月2日 (土) 10:10時点における版
83行目:		83行目:
	<br><br>		<br><br>

	== ~~ラプラス変換の例~~ ==		== ラプラス変換の存在条件 ==
			定理:
			関数 <math>f(t)</math> は <math>t \ge 0</math> において区分的に連続であるとする。
			この時、<math>f(t)</math> に対し、以下を満たす定数Mとαが存在すれば、<math>s > \alpha</math> であるsについてラプラス変換 <math>L[f]</math> が存在する。
			<math>\|f(t)\| \le M e^{\alpha t}</math>

			説明:
			この定理の条件を満たす関数を指数α位の関数と言う。
			<math>f(t)</math> が指数α位のとき、ラプラス変換の定義式は <math>s > \alpha</math> の範囲で収束して、ラプラス変換が存在する。
			<br><br>

			== 基本的な関数のラプラス変換公式 ==
	下表のような原関数 <math>f(t)</math> と像関数 <math>F(s)</math> の対応関係を変換表として使用すれば、ラプラス変換を機械的に実行できる。<br>		下表のような原関数 <math>f(t)</math> と像関数 <math>F(s)</math> の対応関係を変換表として使用すれば、ラプラス変換を機械的に実行できる。<br>
	<br>		<br>
89行目:		100行目:
	{\| class="wikitable" \| style="background-color:#fefefe;"		{\| class="wikitable" \| style="background-color:#fefefe;"
	\|-		\|-
	! style="background-color:#66CCFF;width:50%" \| <math>f(t)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>f(t)</math>
	! style="background-color:#66CCFF;width:50%" \| <math>F(s)</math>		! style="background-color:#66CCFF;width:30%" \| <math>F(s)</math>
			! style="background-color:#66CCFF;width:40%" \| 条件
	\|-		\|-
	\| 1 \|\| <math>\frac{1}{s}</math>		\| <math>1</math> \|\| <math>\frac{1}{s}</math> \|\| <math>s > 0</math>
	\|-		\|-
	\| t \|\| <math>\frac{1}{s^2}</math>		\| <math>t</math> \|\| <math>\frac{1}{s^2}</math> \|\| <math>s > 0</math>
	\|-		\|-
	\| <math>~~\sin~~{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + ~~a^2~~} ~~\qquad (~~s > 0, \, ~~a :~~ \~~mbox{実定数　} )~~</math>		\| <math>t^{n}</math> \|\| <math>\frac{n!}{s^{n + 1}}</math> \|\| <math>s > 0, \quad n = 0, 1, 2, \cdots</math>
	\|-		\|-
	\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2} ~~\qquad (~~s > 0, \, a : \mbox{実定数　} )</math>		\| <math>t^{\alpha}</math> \|\| <math>\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{s^{\alpha + 1}}</math> \|\| <math>\alpha > -1, \quad s > 0</math>
			\|-
			\| <math>e^{at}</math> \|\| <math>\frac{1}{s - a}</math> \|\| <math>s > \alpha</math>
			\|-
			\| <math>\sin{at}</math> \|\| <math>\frac{a}{s^2 + a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>
			\|-
			\| <math>\cos{at}</math> \|\| <math>\frac{s}{s^2 - a^2}</math> \|\| <math>s > 0, \quad a : \mbox{ 実定数　}</math>
	\|}		\|}
	</center>		</center>
			<br><br>

			== ラプラス変換公式を使用した例題 ==

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Wiki: /* ラプラス変換の定義 */

2023-09-02T00:54:39Z

ラプラス変換の定義

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 ラプラス変換は、変数tの関数の集合(原関数の集合)から、変数sの関数の集合(像関数の集合)への変換規則を表している。<br>
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Wiki: ページの作成:「== 概要 == ラプラス変換(Laplace transform)は、 $t \ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ から無限積分を用いて、新しい関数 $F(s)$ を作り出す積分変換である。
ラプラス変換は、微分方程式を代数演算に帰着させて解くための方法を与える。

ラプラス変換を使用すると、ある種の微分方程式に関しては、ややこしい積分を使用せず…」

2023-09-01T21:07:53Z

ページの作成:「== 概要 == ラプラス変換(Laplace transform)は、<math>t \ge 0</math> で定義された関数 <math>f(t)</math> から無限積分を用いて、新しい関数 <math>F(s)</math> を作り出す積分変換である。 ラプラス変換は、微分方程式を代数演算に帰着させて解くための方法を与える。 ラプラス変換を使用すると、ある種の微分方程式に関しては、ややこしい積分を使用せず…」

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== 概要 ==
ラプラス変換(Laplace transform)は、<math>t \ge 0</math> で定義された関数 <math>f(t)</math> から無限積分を用いて、新しい関数 <math>F(s)</math> を作り出す積分変換である。 
ラプラス変換は、微分方程式を代数演算に帰着させて解くための方法を与える。 
 
ラプラス変換を使用すると、ある種の微分方程式に関しては、ややこしい積分を使用せずに代数的に解くことが可能になる。 
 
ラプラス変換の名前は、ラプラス(Pierre-SimonLaplace, 1749 - 1827)に因む。 
ラプラスは微分方程式の解法としてラプラス変換を導入したわけではない。 
 
「ラプラス変換を使用した微分方程式の解法」は、ヘビサイド(Oliver Heaviside, 1850 -1925)によるものである。 
ヘビサイドは演算子を使用した微分方程式の解法を発見した。 
この演算子の数学的基礎付けが他の数学者達によって行われ、ラプラス変換との関係が明らかにされた。 
 

== ラプラス変換の定義 ==
定義:
<math>f(t)</math> を <math>t \ge 0</math> で定義された関数とする。
この時、以下のsの関数 <math>F(s)</math> を <math>f(t)</math> のラプラス変換と言い、<math>L[f(t)]</math> または <math>L[f]</math>と書く。
<math>F(s) = L[f(t)]</math>

<math>F(s) = \int_{0}^{+ \infty} f(t) \, e^{-st} dt</math>

<math>f(t)</math> を原関数(primitive function)、<math>F(s)</math> を像関数(image function)または <math>f(t)</math> のラプラス変換と呼ぶ。
<math>F(s)</math> のsは実数または複素数である。
 
<math>f(t)</math> が <math>t > 0</math> で定義されていて、<math>t = 0</math> では定義されていない場合でも、<math>f(0)</math>の値を適当に決めて <math>t \ge 0</math> で定義されているとしてよい。 
 
<math>f(t)</math> から <math>F(s)</math> に変換する式の説明 
<math>f(t)</math> に <math>e^{-st}</math> を乗算して <math>f(t) \, e^{-st}</math> を作る時、<math>s</math> は定数とみなしてよい。 
次に、この関数を <math>0 \mbox{　〜　} + \infty</math> の範囲で積分する。(積分は変数tで行うので、sはまだ定数とみなしてよい) 
無限積分は定積分なので、積分の結果、変数tは消える。(ここで定数と見なしていたsは残る) 
これを、sの関数 <math>F(s)</math> とする。 
 
ラプラス変換の定義式の <math>F(s)</math> は、右辺の無限積分が収束する場合のみ定義される。 
右辺の無限積分はsの値によって収束する場合と収束しない場合が考えられる。 
 
ラプラス変換は、変数tの関数の集合(原関数の集合)から、変数sの関数の集合(像関数の集合)への変換規則を表している。 
 

== ラプラス変換の例 ==
下表のような原関数 <math>f(t)</math> と像関数 <math>F(s)</math> の対応関係を変換表として使用すれば、ラプラス変換を機械的に実行できる。 
 
<center>
{| class="wikitable" | style="background-color:#fefefe;"
|-
! style="background-color:#66CCFF;width:50%" | <math>f(t)</math>
! style="background-color:#66CCFF;width:50%" | <math>F(s)</math>
|-
| 1 || <math>\frac{1}{s}</math>
|-
| t || <math>\frac{1}{s^2}</math>
|-
| <math>\sin{at}</math> || <math>\frac{a}{s^2 + a^2} \qquad (s > 0, \, a : \mbox{実定数　} )</math>
|-
| <math>\cos{at}</math> || <math>\frac{s}{s^2 - a^2} \qquad (s > 0, \, a : \mbox{実定数　} )</math>
|}
</center>
 

== ラプラス変換による微分方程式の解法 ==
[[ファイル:Applied Mathematics Laplace Transform 1.png|フレームなし|中央]]
 

== ラプラス変換の応用 ==
ラプラス変換は、微分方程式を解くために用いられる。 
また、システムの安定性や過渡解の解析に用いられる。 
 
主な応用分野 
* 古典的自動制御: 伝達関数を求めるための計算手法。
* 電気回路: 過渡現象を表す微分方程式の解法。
 

== 他の積分変換との比較 ==
[[ファイル:Applied Mathematics Laplace Transform 2.png|フレームなし|中央]]
==== フーリエ変換 ====
フーリエ変換(Fourier transform)とラプラス変換では積分範囲と係数部分が異なる。 
また、ラプラス変換の変数sに対応する変数が <math>i \omega</math> (i: 虚数単位)になる。 
 
フーリエ変換は、ラプラス変換とは異なり、周波数分析に使用される。 
 
フーリエ変換は、スイッチをON/OFFした後、時間が十分経過した後の電圧・電流の波形の分析に使用される。 
ラプラス変換は、過渡状態の電圧・電流の分析に使用される。(過渡状態とは、スイッチをON/OFFした直後の状態である) 
 
==== Z変換 ====
Z変換(Z-transform)は、両側ラプラス変換を離散化したものである。 
Z変換は、デジタル信号処理で用いられる。 
 
変換を離散化することによりコンピュータで効率よく扱うことができるようになる。 
 
==== 離散フーリエ変換 ====
離散フーリエ変換(DFT: Discrete Fouriertransform)は、フーリエ変換を離散化したものである。 
離散フーリエ変換を高速に計算するためのアルゴリズムとして高速フーリエ変換(FFT: Fast Fouriertransform)がある。 
これらの技術はデジタル信号処理で使用される。 
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]