ロルの定理 - 版の履歴

Wiki: /* 概要 */

2025-01-05T13:42:02Z

概要

@@ 1行目: / 1行目: @@
 == 概要 ==
+ロルの定理は、微積分における重要な定理の1つである。<br>
 <br><br>

Wiki: Wiki がページ「ロピタルの定理」を「ロルの定理」に、リダイレクトを残さずに移動しました

2023-12-02T17:55:15Z

Wiki がページ「ロピタルの定理」を「ロルの定理」に、リダイレクトを残さずに移動しました

← 古い版		2023年12月3日 (日) 02:55時点における版
(相違点なし)

Wiki: ページの作成:「== 概要 ==

== 最大値の定理 == 定理 : 有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ。

== ロルの定理 == 定理 : 区間 $[a, b]$ で連続、 $(a, b)$ で微分可能、 $f(a) = f(b)$ である関数 $f(x)$ に対して、
$a < c < b$ なる $c$ で $\frac{df(c)}{dx} = 0$ を満たす $c$ が存在する。
証明 :…」

2023-12-02T17:54:53Z

ページの作成:「== 概要 == == 最大値の定理 == 定理 : 有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ。 == ロルの定理 == 定理 : 区間 <math>[a, b]</math> で連続、<math>(a, b)</math> で微分可能、<math>f(a) = f(b)</math> である関数 <math>f(x)</math> に対して、 <math>a < c < b</math> なる <math>c</math> で <math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math> を満たす <math>c</math> が存在する。 証明 :…」

新規ページ

== 概要 ==

 

== 最大値の定理 ==
定理 :

有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ。 
 

== ロルの定理 ==
定理 :

区間 <math>[a, b]</math> で連続、<math>(a, b)</math> で微分可能、<math>f(a) = f(b)</math> である関数 <math>f(x)</math> に対して、 
<math>a < c < b</math> なる <math>c</math> で <math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math> を満たす <math>c</math> が存在する。
 
証明 :

* <math>f(x)</math> が区間内で定数関数の時、<math>a < c < b</math> なる任意の <math>c</math> で <math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math> となる。

* <math>f(a) < f(t)</math> なる <math>t</math> が存在する時、最大値の定理より、<math>a < c < b</math> で <math>c</math> が最大となるような <math>c</math> が存在する。
この時、<math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math> を証明する。

<math>f(x)</math> が <math>x = c</math> で微分可能であることと、<math>f(c) \geqq f(c + h)</math> より、
<math>\frac{df(c)}{dx} = \lim{h \to +0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h} \leqq 0</math>
<math>\frac{df(c)}{dx} = \lim{h \to -0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h} \geqq 0</math>
つまり、
<math>\frac{df(c)}{dx} = 0</math>

* <math>f(a) > f(t)</math> なる <math>t</math> が存在する時も同様（最小値を考える）
 

== 平均値の定理 ==
定理 :

区間 <math>[a, b]</math> で連続、<math>(a, b)</math> で微分可能な関数 <math>f(x)</math> に対して、
<math>a < c < b</math> なる <math>c</math> で <math>\frac{df(c)}{dx} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math> を満たす <math>c</math> が存在する。
 
<math>f(a) = f(b)</math> なる関数に、平均値の定理を用いるとロルの定理が出てくる。 
つまり、平均値の定理はロルの定理の一般化である。 
 
平均値の定理はロルの定理の一般化と看做せるが、ロルの定理から簡単に導出することもできる。 
ロルの定理を用いるために、関数 <math>f(x)</math> に1次関数を加えてロルの定理の条件「両端の値が等しい」ことを満たすような関数 <math>g(x)</math> を作る。 
証明 :

関数 <math>g(x) = f(x) + Ax</math> を考える。
<math>g(a) = g(b)</math> となるような <math>A</math> を探す。

<math>f(a) + Aa = f(b) + Ab</math>
<math>\implies A(a - b) = f(b) - f(a)</math>
<math>\implies A = \frac{f(b) - f(a)}{a - b}</math>
<math>\implies A = - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>

つまり、<math>g(x) = f(x) - x \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math> という関数は、<math>g(a) = g(b)</math> を満たす。
したがって、ロルの定理が使用することができ、<math>a < c < b</math> なる <math>c</math> で <math>\frac{dg(c)}{dx} = 0</math> を満たす <math>c</math> が存在する。

<math>\frac{dg(c)}{dx} = \frac{df(c)}{dx} - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math> であるため、平均値の定理は示される。
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]