ベクトル - ベクトル方程式 - 版の履歴

Wiki: /* 定点 A(\vec{a}) を通り、ベクトル \vec{n} に垂直な直線のベクトル方程式 */

2024-01-09T01:41:22Z

定点 A(\vec{a}) を通り、ベクトル \vec{n} に垂直な直線のベクトル方程式

← 古い版		2024年1月9日 (火) 10:41時点における版
96行目:		96行目:
	上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 <math>y = 2x - 3</math> が成り立つことがわかる。<br>		上記の連立方程式からtを消去すると、直線の式 <math>y = 2x - 3</math> が成り立つことがわかる。<br>
	<br>		<br>
	==== ~~定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線のベクトル方程式~~ ====		==== 定点を通り、あるベクトルに垂直な直線のベクトル方程式 ====
	定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義		定点を通り，ある直線に垂直な直線のベクトル方程式の定義

Wiki: /* 定点 A(\vec{a}) を通り、\vec{d} に平行な直線のベクトル方程式 */

2024-01-09T01:40:49Z

定点 A(\vec{a}) を通り、\vec{d} に平行な直線のベクトル方程式

← 古い版		2024年1月9日 (火) 10:40時点における版
10行目:		10行目:

	== 直線のベクトル方程式 ==		== 直線のベクトル方程式 ==
	==== ~~定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式~~ ====		==== 定点を通り、ある直線に平行な直線のベクトル方程式 ====
	定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式		定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式

50行目:		50行目:
	<math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>		<math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>
	<br>		<br>

	==== 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件） ====		==== 異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件） ====
	異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義		異なる2点を通る直線のベクトル方程式（共線条件）の定義

Wiki: /* 円の接線のベクトル方程式 */

2022-05-30T15:36:14Z

円の接線のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月31日 (火) 00:36時点における版
328行目:		328行目:
	これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。<br>		これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。<br>
	<br>		<br>
	例. 円の中心 <math>C(1, 1)</math>、半径 <math>\sqrt{2}</math> の円に、<math>P(2, 2)</math> で接する接線の方程式をベクトルを用いて求めよ。~~<br>~~		* 例. 円の中心 <math>C(1, 1)</math>、半径 <math>\sqrt{2}</math> の円に、<math>P(2, 2)</math> で接する接線の方程式をベクトルを用いて求めよ。
	<math>\overrightarrow{OC} = (1, 1), \, \overrightarrow{OA} = (2, 2), \, \overrightarrow{OP} = (x, y)</math> とする。~~<br>~~		*: <math>\overrightarrow{OC} = (1, 1), \, \overrightarrow{OA} = (2, 2), \, \overrightarrow{OP} = (x, y)</math> とする。
	<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \quad \Longrightarrow \quad (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0</math> より、~~<br>~~		*: <math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \quad \Longrightarrow \quad (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0</math> より、
	<math>(x - 2, y - 2) \cdot (1, 1) = x - 2 + y - 2 = x - y - 4 = 0</math~~><br~~>		*: <math>(x - 2, y - 2) \cdot (1, 1) = x - 2 + y - 2 = x - y - 4 = 0</math>
	<math>\therefore y = -x + 4</math~~><br~~>		*: <math>\therefore y = -x + 4</math>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 直径がABの円のベクトル方程式 */

2022-05-30T15:35:21Z

直径がABの円のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月31日 (火) 00:35時点における版
268行目:		268行目:
	<math>\therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math><br>		<math>\therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math><br>
	<br>		<br>
	* 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円		* 例1. 円の中心がC(3. 2)で、点R(1, 1)を通る円
	P(x, y)とする時、~~<br>~~		*: 円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、
	<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0</math~~><br~~>		*: <math>\| \overrightarrow{CP} \| = \| \overrightarrow{CR} \|</math>
	<math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math~~><br~~>		*: <math>\| \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC} \| = \| \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OC} \|</math>
	<br>		*: <br>
	<math>\overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OA} = (2 , 5), \, \overrightarrow{OB} = (4, 1)</math> より、~~<br>~~		*: <math>\overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OC} = (3 , 2), \, \overrightarrow{OR} = (1, 1)</math> より、
	<math>(x - 2, y - 5) \cdot (x - 4, y - 1) = 0</math~~><br~~>		*: <math>\| (x - 3, y - 2) \| = \| (-2, -1) \|</math>
	<math>x^2 - 6x + y^2 - 6y + 13 = 0</math~~><br~~>		*: <math>\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{5}</math>
	<math>(x - 3)^2 - 9 + (y - 3)^2 - 9 = -13</math~~><br~~>		*: <math>(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5</math>
	<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math~~><br~~>		*: <br>
	<br>		*: したがって、<math>(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5</math> となる。
	したがって、<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math> となる。~~<br>~~		*: <br>
			* 例2. 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円
			*: 円周上の点Rから円の中心Cを通る直線PRがあり、その円周上の点をP(x, y)とする時、
			*: <math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 \qquad \because \overrightarrow{AP} \bot \overrightarrow{BP}</math>
			*: <math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math>
			*: <br>
			*: <math>\overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OA} = (2 , 5), \, \overrightarrow{OB} = (4, 1)</math> より、
			*: <math>(x - 2, y - 5) \cdot (x - 4, y - 1) = 0</math>
			*: <math>x^2 - 6x + y^2 - 6y + 13 = 0</math>
			*: <math>(x - 3)^2 - 9 + (y - 3)^2 - 9 = -13</math>
			*: <math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math>
			*: <br>
			*: したがって、<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math> となる。
	<br>		<br>

	==== 円の接線のベクトル方程式 ====		==== 円の接線のベクトル方程式 ====
	下図(1)のように、円の中心点 <math>C(\vec{c})</math>、円周上の接点を <math>P_0(\vec{p_0})</math> とする時、接線上の点 <math>P(\vec{p})</math> の位置ベクトルは、次式となる。<br>		下図(1)のように、円の中心点 <math>C(\vec{c})</math>、円周上の接点を <math>P_0(\vec{p_0})</math> とする時、接線上の点 <math>P(\vec{p})</math> の位置ベクトルは、次式となる。<br>

Wiki: /* 円の接線のベクトル方程式 */

2022-05-30T04:47:53Z

円の接線のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月30日 (月) 13:47時点における版
314行目:		314行目:
	<br>		<br>
	これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。<br>		これは、円の接線の方程式を表していることが分かる。<br>
			<br>
			例. 円の中心 <math>C(1, 1)</math>、半径 <math>\sqrt{2}</math> の円に、<math>P(2, 2)</math> で接する接線の方程式をベクトルを用いて求めよ。<br>
			<math>\overrightarrow{OC} = (1, 1), \, \overrightarrow{OA} = (2, 2), \, \overrightarrow{OP} = (x, y)</math> とする。<br>
			<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \quad \Longrightarrow \quad (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0</math> より、<br>
			<math>(x - 2, y - 2) \cdot (1, 1) = x - 2 + y - 2 = x - y - 4 = 0</math><br>
			<math>\therefore y = -x + 4</math><br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 円の接線のベクトル方程式 */

2022-05-29T08:50:30Z

円の接線のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月29日 (日) 17:50時点における版
283行目:		283行目:
	==== 円の接線のベクトル方程式 ====		==== 円の接線のベクトル方程式 ====
	下図(1)のように、円の中心点 <math>C(\vec{c})</math>、円周上の接点を <math>P_0(\vec{p_0})</math> とする時、接線上の点 <math>P(\vec{p})</math> の位置ベクトルは、次式となる。<br>		下図(1)のように、円の中心点 <math>C(\vec{c})</math>、円周上の接点を <math>P_0(\vec{p_0})</math> とする時、接線上の点 <math>P(\vec{p})</math> の位置ベクトルは、次式となる。<br>
			[[ファイル:Vector Equation 11.jpg\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	<math>\overrightarrow{P_0 P} \cdot \overrightarrow{CP_0} = 0</math><br>		<math>\overrightarrow{P_0 P} \cdot \overrightarrow{CP_0} = 0</math><br>
	<math>( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{p_0} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = 0</math><br>		<math>( \overrightarrow{p} - \overrightarrow{p_0} ) \cdot ( \overrightarrow{p_0} - \overrightarrow{c} ) = 0</math><br>

Wiki: /* 直径がABの円のベクトル方程式 */

2022-05-29T08:36:50Z

直径がABの円のベクトル方程式

@@ 280行目: / 280行目: @@
 <br>
 したがって、<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math> となる。<br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 直径がABの円のベクトル方程式 */

2022-05-29T05:25:48Z

直径がABの円のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月29日 (日) 14:25時点における版
279行目:		279行目:
	<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math><br>		<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math><br>
	<br>		<br>
	したがって、<math>~~\therefore~~ (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math> となる。<br>		したがって、<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math> となる。<br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 直径がABの円のベクトル方程式 */

2022-05-29T05:25:28Z

直径がABの円のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月29日 (日) 14:25時点における版
267行目:		267行目:
	<math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math><br>		<math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math><br>
	<math>\therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math><br>		<math>\therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math><br>
			<br>
			* 点A(2, 5)と点B(4, 1)を直径の両端とする円
			P(x, y)とする時、<br>
			<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0</math><br>
			<math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math><br>
			<br>
			<math>\overrightarrow{OP} = (x, y), \, \overrightarrow{OA} = (2 , 5), \, \overrightarrow{OB} = (4, 1)</math> より、<br>
			<math>(x - 2, y - 5) \cdot (x - 4, y - 1) = 0</math><br>
			<math>x^2 - 6x + y^2 - 6y + 13 = 0</math><br>
			<math>(x - 3)^2 - 9 + (y - 3)^2 - 9 = -13</math><br>
			<math>(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math><br>
			<br>
			したがって、<math>\therefore (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5</math> となる。<br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 中心がC，半径がrの円のベクトル方程式 */

2022-05-29T04:32:44Z

中心がC，半径がrの円のベクトル方程式

@@ 241行目: / 241行目: @@
 また、<math>C(a, b), \, P(x, y)</math> として成分で表すと、<math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> であり、円の方程式となる。<br>
 <br>
 ==== 直径がABの円のベクトル方程式 ====
   円のベクトル方程式の定義 2

Wiki: /* 直径がABの円のベクトル方程式 */

2022-05-29T03:37:39Z

直径がABの円のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月29日 (日) 12:37時点における版
244行目:		244行目:
	円のベクトル方程式の定義 2		円のベクトル方程式の定義 2

	3つの定点を <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b~~}), \, C(\vec{c~~})</math> 、円周上の任意の点を <math>P(\vec{p})</math> とする。		3つの定点を <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b})</math> 、円周上の任意の点を <math>P(\vec{p})</math> とする。
	<math>(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math>		<math>(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math>
	<br>		<br>

Wiki: /* 円のベクトル方程式 */

2022-05-27T09:03:35Z

円のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月27日 (金) 18:03時点における版
230行目:		230行目:
	<math>(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^2</math>		<math>(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^2</math>
	<br>		<br>
	~~中心C、半径rの円上にある点Pについて考える。~~<br>		下図に示すように、中心C、半径rの円上にある点Pについて考える。<br>
			[[ファイル:Vector Equation 9.jpg\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	円の定義は、"中心Cからの距離がrである点の集まり"であるため、<math>CP = r</math> である。<br>		円の定義は、"中心Cからの距離がrである点の集まり"であるため、<math>CP = r</math> である。<br>
	ベクトルで表すと、<math>\| \overrightarrow{CP} \| = r \quad \mbox{より } \quad \| \vec{p} - \vec{c} \| = r</math> である。<br>		ベクトルで表すと、<math>\| \overrightarrow{CP} \| = r \quad \mbox{より } \quad \| \vec{p} - \vec{c} \| = r</math> である。<br>
238行目:		240行目:
	<br>		<br>
	また、<math>C(a, b), \, P(x, y)</math> として成分で表すと、<math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> であり、円の方程式となる。<br>		また、<math>C(a, b), \, P(x, y)</math> として成分で表すと、<math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> であり、円の方程式となる。<br>
			<br>
			==== 直径がABの円のベクトル方程式 ====
			円のベクトル方程式の定義 2

			3つの定点を <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b}), \, C(\vec{c})</math> 、円周上の任意の点を <math>P(\vec{p})</math> とする。
			<math>(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math>
			<br>
			下図に示すように、直径がABの円周上の点Pについて考える。<br>
			[[ファイル:Vector Equation 10.jpg\|フレームなし\|中央]]
			<br>
			直径に対する円周角は直角であるから、<math>AP \perp BP</math> であり、 <math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0</math> となる。<br>
			したがって、次式となる。<br>
			<math>(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}) = 0</math><br>
			<math>\therefore (\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0</math><br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 平行四辺形OACB */

2022-05-27T07:45:14Z

平行四辺形OACB

← 古い版		2022年5月27日 (金) 16:45時点における版
205行目:		205行目:
	例えば、<math>s = 0.5</math> の時、<math>\vec{p} = 0.5 \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}</math> となり、<br>		例えば、<math>s = 0.5</math> の時、<math>\vec{p} = 0.5 \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}</math> となり、<br>
	tを <math>0 \le t \le 1</math> の範囲で変化させる時、点Pは、下図(1)の線分OBに平行な線分A'C'上を動く。<br>		tを <math>0 \le t \le 1</math> の範囲で変化させる時、点Pは、下図(1)の線分OBに平行な線分A'C'上を動く。<br>
			[[ファイル:Vector Equation 6.jpg\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	次に、sを <math>0 \le s \le 1</math> の範囲で変化させる時、上図(2)のように、線分A'C'は、線分OBから線分ACまで平行に動く。<br>		次に、sを <math>0 \le s \le 1</math> の範囲で変化させる時、上図(2)のように、線分A'C'は、線分OBから線分ACまで平行に動く。<br>

Wiki: /* 平行四辺形OACB */

2022-05-27T07:36:29Z

平行四辺形OACB

@@ 203行目: / 203行目: @@
 <br>
 ==== 平行四辺形OACB ====
 <br><br>

Wiki: /* 直線AB */

2022-05-27T07:09:59Z

直線AB

← 古い版		2022年5月27日 (金) 16:09時点における版
144行目:		144行目:
	==== 直線AB ====		==== 直線AB ====
	異なる2点を通る直線のベクトル方程式の通り、点 <math>P(\vec{p})</math> が次式を満たしながら動く時、点 <math>P(\vec{p})</math> の存在範囲は直線ABとなる。<br>		異なる2点を通る直線のベクトル方程式の通り、点 <math>P(\vec{p})</math> が次式を満たしながら動く時、点 <math>P(\vec{p})</math> の存在範囲は直線ABとなる。<br>
	[[ファイル:Vector Equation 6.jpg\|フレームなし\|中央]]		[[ファイル:Vector Equation 2.jpg\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	<math>		<math>
153行目:		153行目:
	</math><br>		</math><br>
	<br>		<br>

	==== 線分AB ====		==== 線分AB ====
	点 <math>P(\vec{p})</math> の存在範囲を線分AB上に限定する場合を考える。<br>		点 <math>P(\vec{p})</math> の存在範囲を線分AB上に限定する場合を考える。<br>

Wiki: /* 直線のベクトル方程式 */

2022-05-27T07:09:29Z

直線のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月27日 (金) 16:09時点における版
15行目:		15行目:
	定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式		定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式
	<math>\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math>		<math>\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math>
			<br>
			[[ファイル:Vector Equation 1.jpg\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線をgとする。<br>		点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線をgとする。<br>
57行目:		59行目:
	<br>		<br>
	平面上の異なる2点 <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b})</math> を通る直線上に，点 <math>P(\vec{p})</math> があることを考える。<br>		平面上の異なる2点 <math>A(\vec{a}), \, B(\vec{b})</math> を通る直線上に，点 <math>P(\vec{p})</math> があることを考える。<br>
			[[ファイル:Vector Equation 2.jpg\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	この時、<math>\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB}</math> と表されるので、次式となる。<br>		この時、<math>\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB}</math> と表されるので、次式となる。<br>
	<math>		<math>
69行目:		73行目:
	<br>		<br>
	例. <math>A(2, 1), \, B(3, 3)</math> の時、直線ABの式は <math>y = 2x - 3</math> である。<br>		例. <math>A(2, 1), \, B(3, 3)</math> の時、直線ABの式は <math>y = 2x - 3</math> である。<br>
			[[ファイル:Vector Equation 3.jpg\|フレームなし\|中央]]
			<br>
	P(x, y)として、ベクトルで考えると<br>		P(x, y)として、ベクトルで考えると<br>
	<math>		<math>
97行目:		103行目:
	<br>		<br>
	下図に、定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線を示す。<br>		下図に、定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、ベクトル <math>\vec{n}</math> に垂直な直線を示す。<br>
			[[ファイル:Vector Equation 4.jpg\|フレームなし\|中央]]
	<br>		<br>
	点 <math>P(\vec{p})</math> がこの直線上にあるということは、<math>\vec{n} \perp \overrightarrow{AP}</math> である。<br>		点 <math>P(\vec{p})</math> がこの直線上にあるということは、<math>\vec{n} \perp \overrightarrow{AP}</math> である。<br>
104行目:		111行目:
	<br>		<br>
	例. 点 <math>A(2, 1), \, B(3, 3)</math> 、直線ABの式 <math>y = 2x - 3</math> とする時、この直線に垂直な直線の式を求める。<br>		例. 点 <math>A(2, 1), \, B(3, 3)</math> 、直線ABの式 <math>y = 2x - 3</math> とする時、この直線に垂直な直線の式を求める。<br>
	P(x, y) ~~として、ベクトルで考えると~~		[[ファイル:Vector Equation 5.jpg\|フレームなし\|中央]]
			<br>
			P(x, y) として、ベクトルで考える。<br>
	<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{A } = 0</math><br>		<math>\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{A } = 0</math><br>
	<math>\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0</math><br>		<math>\begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0</math><br>

Wiki: /* ベクトルの終点の存在範囲 */

2022-05-27T06:36:20Z

ベクトルの終点の存在範囲

@@ 115行目: / 115行目: @@
 == ベクトルの終点の存在範囲 ==
   ベクトルの終点の存在範囲の定義
@@ 131行目: / 132行目: @@
   平行四辺形OACBの周と内部
   <math>\begin{cases} \vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b} \\ 0 \le s \le 1 \\ 0 \le t \le 1 \\ \end{cases}</math>
 <br><br>

Wiki: /* 円のベクトル方程式 */

2022-05-27T04:39:46Z

円のベクトル方程式

← 古い版		2022年5月27日 (金) 13:39時点における版
134行目:		134行目:

	== 円のベクトル方程式 ==		== 円のベクトル方程式 ==
			==== 中心がC，半径がrの円のベクトル方程式 ====
			中心がC、半径がrの円のベクトル方程式の定義

			3つの定点を <math>A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c})</math> 、円周上の任意の点を <math>P(\vec{p})</math> とする。
			<math>\|\vec{p} - \vec{c}\| = r</math>
			または
			<math>(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^2</math>
			<br>
			中心C、半径rの円上にある点Pについて考える。<br>
			円の定義は、"中心Cからの距離がrである点の集まり"であるため、<math>CP = r</math> である。<br>
			ベクトルで表すと、<math>\| \overrightarrow{CP} \| = r \quad \mbox{より } \quad \| \vec{p} - \vec{c} \| = r</math> である。<br>
			<br>
			ゆえに、<math>\| \vec{p} - \vec{c} \|^2 = r^2</math><br>
			したがって、<math>( \vec{p} - \vec{c} ) \cdot ( \vec{p} - \vec{c} ) = r^2</math><br>
			<br>
			また、<math>C(a, b), \, P(x, y)</math> として成分で表すと、<math>(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2</math> であり、円の方程式となる。<br>
	<br><br>		<br><br>

	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 直線のベクトル方程式 */

2022-05-26T22:10:26Z

直線のベクトル方程式

@@ 48行目: / 48行目: @@
   <math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>
 <br>
 <br><br>
 __FORCETOC__
 [[カテゴリ:解析学]]

Wiki: ページの作成:「== 概要 == ベクトル方程式とは、"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"のことである。

直線は、点の集合である。
例えば，直線 $y = 2x + 1$ は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。

ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。
この位置ベク…」

2022-05-26T09:29:20Z

ページの作成:「== 概要 == ベクトル方程式とは、"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"のことである。 直線は、点の集合である。 例えば，直線 <math>y = 2x + 1</math> は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。 ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。 この位置ベク…」

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== 概要 ==
ベクトル方程式とは、"ある条件を満たす点を、ベクトルで表現した式"のことである。 
 
直線は、点の集合である。 
例えば，直線 <math>y = 2x + 1</math> は、点(x, y)が満たす条件を式にしたもので，この条件を満たす点の集合が直線になる。 
 
ベクトルでは、点の位置を表すために、位置ベクトルが存在する。 
この位置ベクトルを利用して、曲線上の点の位置ベクトル <math>P(\vec{p})</math> の満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という。 
 

== 直線のベクトル方程式 ==
==== 定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式 ====
定点を通りある直線に平行な直線のベクトル方程式

定点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線のベクトル方程式
<math>\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math>
 
点 <math>A(\vec{a})</math> を通り、<math>\vec{0}</math> でないベクトル <math>\vec{d}</math> に平行な直線をgとする。 
点 <math>P(\vec{p})</math> が直線g上にあるということは、<math>\overrightarrow{AP} = t \vec{d}</math> と表すことができる。 
 
<math>\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a}</math> より、 
<math>\vec{p} - \vec{a} = t \vec{d}</math> 
<math>\therefore \vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}</math> 
と表すことができる。 
 
この時、<math>\vec{d}</math> を直線gの方向ベクトルtを媒介変数という。 
 
また、このベクトル方程式をベクトルの成分で表すことを考える。 
原点をO、点Aの座標を <math>A(x1, y1)</math>、直線g上の任意の点を <math>P(x, y)</math> として、<math>\vec{d} = (l, m)</math> とする時、 
ベクトル方程式は、次式となる。 
<math>
\begin{align}
(x, y) &= (x_1, y_1) + t (l, m) \\
& = (x_1 + lt, y_1 + mt)
\end{align}
</math> 
 
<math>
\begin{cases}
x = x_1 + lt \\
y = y_1 + mt
\end{cases}
</math> 
 
媒介変数tを用いて表されたこの連立方程式を、直線gの媒介変数表示という。 
この連立方程式からtを消去する時、次のことが成り立つ。 
点 <math>(x_1, y_1)</math> を通り、<math>\vec{d} = (l, m)</math> が方向ベクトルである直線の方程式
<math>m (x - x_1 ) - l (y - y_1) = 0</math>
 
 

__FORCETOC__
[[カテゴリ:解析学]]