ガウス積分 - 版の履歴

Wiki: /* ガウス積分 2 */

2024-02-23T07:45:18Z

ガウス積分 2

← 古い版		2024年2月23日 (金) 16:45時点における版
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	<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-ax^{2}}} \ dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math><br>		<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-ax^{2}}} \ dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math><br>
	<br>		<br>
			この関数は、<math>x = 0</math> を原点とした偶関数であるため、<math>\int_{0}^{\infty} {e^{-ax^{2}}} \ dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad \int_{- \infty}^{0} {e^{-x^{2}}} \ dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math> となる。<br>
	<br><br>		<br><br>

Wiki: /* ガウス積分 */

2024-02-23T07:18:06Z

ガウス積分

← 古い版		2024年2月23日 (金) 16:18時点における版
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	<br><br>		<br><br>

	~~== ガウス積分 ==~~		== ガウス積分 1 ==
	==== ガウス積分 1 ====
	<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- x^{2}}} \ dx</math><br>		<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- x^{2}}} \ dx</math><br>
	<br>		<br>
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	<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx = \sqrt{\pi}</math><br>		<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx = \sqrt{\pi}</math><br>
	<br>		<br>
	==== ガウス積分 2 ====		この関数は、<math>x = 0</math> を原点とした偶関数であるため、<math>\int_{0}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, \quad \int_{- \infty}^{0} {e^{-x^{2}}} \ dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> となる。<br>
			<br><br>

			== ガウス積分 2 ==
	<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- ax^{2}}} \ dx</math><br>		<math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- ax^{2}}} \ dx</math><br>
	<br>		<br>

Wiki: /* ガウス積分 */

2024-02-23T07:09:53Z

ガウス積分

@@ 90行目: / 90行目: @@
 == ガウス積分 ==
 <math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{- x^{2}}} \ dx</math><br>
 <br>
@@ 102行目: / 103行目: @@
 </math><br>
 <br>
-(1)式より、次式のように考えることができる。<br>
+上式(1)より、次式のように考えることができる。<br>
 <math>
 \begin{align}
@@ 110行目: / 111行目: @@
 </math><br>
 <br>
-(2)式より、次式が求められる。<br>
+上式(2)より、次式が求められる。<br>
 <math>\int_{- \infty}^{\infty} {e^{-x^{2}}} \ dx = \sqrt{\pi}</math><br>
 <br><br>

Wiki: /* 概要 */

2024-02-22T06:59:32Z

概要

@@ 1行目: / 1行目: @@
 == 概要 ==
-ガウス分布(正規分布)に対する積分をガウス積分と呼ぶ。<br>
+ガウス積分は、確率密度関数が正規分布（ガウス分布）に従う場合の積分を指す。<br>
-積分範囲が <math>\infty</math> に及ぶため、広義積分である。<br>
+積分範囲が <math>\infty</math> に及ぶ<u>広義積分</u>である。<br>
 <br><br>

Wiki: /* 極座標の広義積分 */

2024-02-22T06:49:15Z

極座標の広義積分

@@ 63行目: / 63行目: @@
 <math>
 \begin{align}
-=& \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-t}} \ dt \\
+& \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-t}} \ dt \\
 =& - \pi \big[ e^{-t} \Big]_{0}^{\infty} \\
 =& - \pi (0 - 1) \\
@@ 69行目: / 69行目: @@
 \end{align}
 </math><br>
 <br><br>

Wiki: /* ガウス積分 */

2024-02-22T06:34:41Z

ガウス積分

← 古い版		2024年2月22日 (木) 15:34時点における版
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	<br><br>		<br><br>

	== ~~ガウス積分~~ ==		== 極座標の広義積分 ==
	<math>\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) \ \| \ 0 \le x^{2} + y^{2} \le \infty, - \infty \le x \le \infty, \ - \infty \le y \le \infty \}</math><br>		<math>\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) \ \| \ 0 \le x^{2} + y^{2} \le \infty, - \infty \le x \le \infty, \ - \infty \le y \le \infty \}</math><br>
	<br>		<br>

Wiki: /* 求め方 */

2024-02-22T06:13:45Z

求め方

← 古い版		2024年2月22日 (木) 15:13時点における版
72行目:		72行目:


	~~__FORCTOC__~~		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 求め方 */

2024-02-22T06:13:21Z

求め方

← 古い版		2024年2月22日 (木) 15:13時点における版
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	~~__FORCETOC__~~		__FORCTOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: /* 求め方 */

2024-02-22T06:13:17Z

求め方

← 古い版		2024年2月22日 (木) 15:13時点における版
72行目:		72行目:


	~~__FORCTOC__~~		__FORCETOC__
	[[カテゴリ:解析学]]		[[カテゴリ:解析学]]

Wiki: ページの作成:「== 概要 == ガウス分布(正規分布)に対する積分をガウス積分と呼ぶ。
積分範囲が $\infty$ に及ぶため、広義積分である。

== ガウス積分 == $\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) \ | \ 0 \le x^{2} + y^{2} \le \infty, - \infty \le x \le \infty, \ - \infty \le y \le \infty \}$

==== 直交直線座標から円座標への…」

2024-02-22T06:12:55Z

ページの作成:「== 概要 == ガウス分布(正規分布)に対する積分をガウス積分と呼ぶ。 積分範囲が <math>\infty</math> に及ぶため、広義積分である。 == ガウス積分 == <math>\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) \ | \ 0 \le x^{2} + y^{2} \le \infty, - \infty \le x \le \infty, \ - \infty \le y \le \infty \}</math> ==== 直交直線座標から円座標への…」

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== 概要 ==
ガウス分布(正規分布)に対する積分をガウス積分と呼ぶ。 
積分範囲が <math>\infty</math> に及ぶため、広義積分である。 
 

== ガウス積分 ==
<math>\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \qquad D = \{ (x, y) \ | \ 0 \le x^{2} + y^{2} \le \infty, - \infty \le x \le \infty, \ - \infty \le y \le \infty \}</math> 
 
==== 直交直線座標から円座標への変換 ====
直交直線座標 <math>(x, y)</math> から円座標 <math>(r, \theta)</math> への変換は次式で与えられる。 
<math>
\begin{cases}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta \\
\end{cases}
</math> 
 
==== ヤコビアン ====
2重積分に応用するには、変数変換を行うことにより、ヤコビアンを計算して <math>dx dy</math> と <math>dr d \theta</math> の関係式を求める必要がある。 
<math>
\begin{align}
J &=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix} \\
&=
\begin{vmatrix}
\cos{\theta} & -r \sin{\theta} \\
\sin{\theta} & r \cos{\theta}
\end{vmatrix} \\
&= r \cos^{2}{\theta} + r \sin^{2}{\theta} \\
&= r
\end{align}
</math> 
したがって、<math>dxdy = r dr d \theta</math>となる。 
 
==== 求め方 ====
円が含まれる場合は、極座標変換 <math>x = r \cos{\theta}, \, y = r \sin{\theta}(r \ge 0, \, 0 \le \theta \le 2 \pi)</math>とおく。 
変換後の積分範囲D'は、<math>D' = \{ (r, \theta) \, | \, 0 \le r \le \infty, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \}</math> の形に変形でき、2重積分を計算することができる。 
 
<math>
\begin{align}
& \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}} \ dxdy \\
=& \iint_{D'} e^{- r^2 \cos^{2}{\theta} - r^2 \sin^{2} \theta } r \ drd \theta \\
=& \iint_{D'} e^{-r^2} r \ drd \theta \qquad \because \cos^{2}{\theta} + \sin^{2} \theta = 1 \\
=& \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\infty} {e^{-r^2}} r \ dr \\
=& 2 \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-r^2}} r \ dr \qquad \cdots (1)
\end{align}
</math> 
 
ここで、<math>t = r^{2}</math> として変数変換を行う。 
<math>\frac{dt}{dr} = 2r</math> より、<math>\frac{1}{2} dt = r dr</math> となる。 
また、<math>r = 0, \, r = \infty</math> の時、積分範囲は次式となる。 
<math>
\begin{cases}
r = 0 &\implies t = 0 \\
r = \infty &\implies t = \infty \\
\end{cases}
</math> 
 
上記の変数変換により、上式(1)は次のように計算することができる。 
<math>
\begin{align}
=& \pi \int_{0}^{\infty} {e^{-t}} \ dt \\
=& - \pi \big[ e^{-t} \Big]_{0}^{\infty} \\
=& - \pi (0 - 1) \\
=& \pi
\end{align}
</math> 
 

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